今から25年前，1997年度の出世・松井・渡会の卒業論文では，変形核の軸対称電荷分布の形として原点からの距離を$R(\cos\theta)$として，2種類の関数形を採用した。なお，$\theta$は対称軸である$z$軸正方向からの方位角を表わし，$x-y$平面に対して対称な分布を考えるので，$R(\cos\theta)$は$\cos\theta$の偶関数に限定される。$t=\cos\theta$とおいて，電荷密度$\rho_0$は，$Ze = 4 \pi \rho_0 \int_0^1 \int_0^{R(t)} s^2 ds\ dt $で与えられる。
(1) 回転楕円体：$R(\cos\theta) = \dfrac{ac}{\sqrt{c^2+(a^2-c^2)\cos^2\theta}}$である。
この場合の電荷密度は，$\rho_0=\dfrac{3Ze}{4\pi a c^2}$となる。
(2) 2次ルジャンドル関数：$R(\cos\theta) = a+(c-a) \cos^2\theta = \alpha + \beta P_2(\cos\theta)$である。
ただし，$\alpha = \dfrac{2a+c}{3c},\quad \beta = \dfrac{2(c-a)}{3}$。
この場合の電荷密度は，$\rho_0=\dfrac{105 Ze}{4 \pi (16 a^3+8a^2c + 6 a c^2 + 5 c^3)}$となる。
ところで，ルジャンドル関数は直交多項式であり，回転楕円体の断面の楕円はルジャンドル関数による展開で近似できる。この近似がどのくらい妥当するかを，長軸と短軸の比が1:2や2:1の場合について確かめてみる。楕円の離心率は，$e=\sqrt{\dfrac{a^2-c^2}{a^2}}$で与えられる，$\varepsilon=\dfrac{e^2 a^2}{c^2}$とおくと，$R(t) = \dfrac{a}{\sqrt{1+ \varepsilon t^2}}$となる。まず，$n=4$までの展開係数を求めておく。
$\dfrac{1}{\sqrt{1+ \varepsilon t^2}} \approx 1 - \dfrac{\varepsilon}{2}t^2 + \dfrac{3}{8}\varepsilon^2 t^4 = \alpha P_0 (t)+ \beta P_2(t) + \gamma P_4(t)$
$= \alpha + \beta \dfrac{3 t^2-1}{2} + \gamma \dfrac{35t^4-30t^2+3}{8}=1-\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{3\gamma}{8} +\Bigl( \dfrac{3\beta}{2}-\dfrac{15\gamma}{4}\Bigr) t^2+\dfrac{35\gamma}{8}t^4$
これを解いて，$\alpha = 1 -\dfrac{\varepsilon}{6} + \dfrac{3\varepsilon^2}{40}$，$\beta = -\dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{3 \varepsilon^2}{14}$，$\gamma = \dfrac{3\varepsilon^2}{35}$
a = 0.5; c = 1.0;
(* a = 1.0; c = 0.5; *)
d[a_,c_,t_] := a/Sqrt[1 + (a^2-c^2)/c^2 * t^2]
4 Pi * Integrate[Integrate[r^2, {r,0,d[t,a,c]}], {t,0,1}]
g0 = Plot[d[t,a,c], {t,0,1}, PlotStyle->Hue[0]]
f[n_,a_,c_] := Integrate[LegendreP[n,t]*d[a,c,t], {t,0,1}]
b = Table[f[n,a,c], {n,0,16,2}]
g[m_] := Plot[Sum[b[[n/2+1]]*LegendreP[n,t]*(2*n+1), {n,0,m,2}],
{t,0,1}, PlotStyle-> Hue[(m+1)/10]]
Show[Table[{g0, g[k]}, {k, 4, 6, 2}], PlotRange -> {0.4,1}]
図：軸対称電荷分布（左 oblate，右 prolate，横軸 $t=\cos\theta$，縦軸 $R(t)$）
扁平率 $f=\dfrac{a-c}{a}\ $が-1〜1/2の範囲では，4次のルジャンドル展開で回転楕円体をほぼ表現できる。6次ならば十分だ。
