真鍋さんがMIPOで sin π/5 の求め方を書いていた。
最初の代数的方法は，sin n x の一般式（n倍角の公式）を使うとよい（ド・モアブルの定理経由）。つまり，sin 5θ = 16 sin^5θ - 20 sin^3θ + 5 sinθ。θ=π/5を代入すると，x=sinθとして，16x^4-20x^2+5 = 0というxの4次方程式（x^2の2次方程式）がでてきてすぐに納得できた（といってもn倍角の公式導出はChatGPTに頼ったけれど・・・）。
一方2番目の幾何学的な方法は，正五角形と五芒星をかいてθ=π/5=36度の鋭角を持った直角三角形の相似条件から求めるというもので，それを前提に自分でも考えてみようとしたけれど，中々思いつかない。しかたがないので，ちゃんと図を描いてみようとしたが，フリーハンドではわかりにくい。
そこで，ChatGPT-5 Thinking にTikZでの作成を依頼した。こんな感じで。
Ｑ（koshix）：
LatexのTikZを使って次の作図をしてください。
(1) 薄いグレイドットの1cmグリッドが入ったxy座標系をとって，以下の図形はy>=0の領域だけ描画する。
(2) 原点を中心として半径6cmの円
(3) 原点を中心として中心から頂点までの距離が6cmの正五角形 。ただし，１つの頂点は(6,0) におく。
(4) 各頂点をすべて結んで五芒星になるようにする。
(5) 原点にO,(6,0)の頂点をA，反時計回りの頂点を，B，Cとラベルする。
(6) 原点から辺ABに垂線ODを降ろす。
(7) OBとACが直交している交点をEとする。
以上よろしくお願いします。
（その後，ODとACの交点F，FからAOに降ろした垂線の足Gを追加した。）
結果のTikZをチューニングしたものが以下のコードである。
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]% 1cmグリッド（薄いグレードット）\draw[step=1cm,black!50,dotted] (0,0) grid (7,7);% 座標軸\draw[gray!50,->] (0,0) -- (7,0) node[right] {$x$};\draw[gray!50,->] (0,0) -- (0,7) node[above] {$y$};% 点の定義\coordinate (O) at (0,0);\coordinate (A) at (6,0); % (6,0)\coordinate (B) at ({6*cos(72)},{6*sin(72)}); % 72°\coordinate (C) at ({6*cos(144)},{6*sin(144)}); % 144°\coordinate (Dfull) at ({6*cos(216)},{6*sin(216)});\coordinate (Efull) at ({6*cos(288)},{6*sin(288)});% 半径6cmの円\draw[gray!50] (O) circle (6);% 正五角形（外接円半径6）\draw[gray] (A) -- (B) -- (C) -- (Dfull) -- (Efull) -- cycle;% 五芒星（頂点を全て結ぶ）\draw (A) -- (C) -- (Efull) -- (B) -- (Dfull) -- cycle;% Oから頂点A,Bへの線\draw[thick, blue] (O)--(A);\draw[thick, blue] (O)--(B);% Oから辺ABへの垂線 OD\coordinate (D) at ($(A)!(O)!(B)$);\draw[thick,blue,dashed] (O) -- (D);% OB と AC の交点 E（OB ⟂ AC）\path[name path=OB] (O) -- (B);\path[name path=AC] (A) -- (C);\path[name intersections={of=OB and AC,by=E}];% OD と AC の交点 F (OD ∠ AC)\path[name path=OD] (O) -- (D);\path[name path=AE] (A) -- (E);\path[name intersections={of=OD and AE,by=F}];% Fから辺AOへの垂線 FG\coordinate (G) at ($(O)!(F)!(A)$);\draw (F) -- (G);% 点の描画\foreach \P in {O,A,B,C,D,E,F,G}\fill (\P) circle (1.8pt);% ラベル\node[below left] at (O) {$O$};\node[above right] at (A) {$A$};\node[above right] at (B) {$B$};\node[above left] at (C) {$C$};\node[above right] at (D) {$D$};\node[above right] at (E) {$E$};\node[below right] at (F) {$F$};\node[below right] at (G) {$G$};\end{tikzpicture}
大変勉強になった。TikZにおいて，
・ある点から別の点への垂線の降ろし方
・２つの線分の交点の求め方
・一連の点の表現を繰り返しで指定する方法
がわかったのだった。
えーと，肝腎の相似条件はわからないままで難渋している。MIPOをもう一度よく読んで見ると頂角36度の二等辺三角形の相似条件だった。チーン。直角三角形ではなかった。まあ，勉強になったからよしとしよう。
図：ChatGPTが生成したTikZで描いた正五角形と五芒星
