留数計算

GPT-4とBardとPerplexityに実関数の広義積分を複素解析を使って解くようにお願いした。

問題は，$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x} dx$  というものだ。で，三者全員がそれらしい導出過程を示しながら答えは$\pi$だと返してきた。どうもおかしいなと思って，Mathematicaで検算すると $\dfrac{\pi}{2}$だ。やはり，ちゃんと勉強せずに生成系AIを使うことはできない（何度か試すと正しい答えを返す場合もあった）。

ところが，最近（ここ数十年）留数計算なんかご無沙汰しているので，自分の方が計算の仕方が分からなくなってしまっている。AI以下である。インターネットで復習してから自分で結果を再構成してみた。まだよく理解できていないけれど概ね次のようなものだ。

図：２通りの積分路と極の位置（ChatGPTのtikzコードによる）

複素関数$f(z) = \dfrac{e^{iz}}{z}$の積分を考える。

経路 $C_1 :  \gamma_{-} + \Gamma' + \gamma_{+} + \Gamma$，

経路 $C_2 :  \gamma_{-} + \Gamma'' + \gamma_{+} + \Gamma$，

とする。

$f(z)$がコーシーリーマンの関係式を満たす正則関数であるならば，

$C_1$のように閉じた積分路の中に$f(z)$に極がない場合，$f(z)$の経路積分の値は，$I_1=\oint_{C_1} f(z) dz =0$になる。

また$C_2$のように閉じた積分路の中に極がある場合は，$f(z)$の経路積分の値は，$I_2=\oint_{C_2} f(z) dz =2 \pi i \ \mathrm{Res} f(z)$になる。

$\oint_{C_1} f(z) dz = \int_{-R}^{-\varepsilon} \dfrac{e^{i x}}{x} dx + \int_{\Gamma'} \dfrac{e^{iz}}{z} dz +  \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{i x}}{x} dx + \int_{\Gamma} \dfrac{e^{iz}}{z} dz =0$

第1項と第3項をまとめて，第2項と第4項は $z=r e^{i \theta}$と極座標表示して，

これから$\varepsilon \rightarrow 0, \ R \rightarrow \infty$の極限をとると，

$\displaystyle 2 i \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx - \pi i + 0 = 0$

同様に積分路$C_2$については，$\mathrm{Res}(z=0) f(z) = 1$ なので

これから$\varepsilon \rightarrow 0, \ R \rightarrow \infty$の極限をとると，

$\displaystyle 2 i \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx + \pi i + 0 = 2\pi i$

いずれにしても，$\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2}$