問題は,$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x} dx$ というものだ。で,三者全員がそれらしい導出過程を示しながら答えは$\pi$だと返してきた。どうもおかしいなと思って,Mathematicaで検算すると $\dfrac{\pi}{2}$だ。やはり,ちゃんと勉強せずに生成系AIを使うことはできない(何度か試すと正しい答えを返す場合もあった)。
ところが,最近(ここ数十年)留数計算なんかご無沙汰しているので,自分の方が計算の仕方が分からなくなってしまっている。AI以下である。インターネットで復習してから自分で結果を再構成してみた。まだよく理解できていないけれど概ね次のようなものだ。
図:2通りの積分路と極の位置(ChatGPTのtikzコードによる)
複素関数$f(z) = \dfrac{e^{iz}}{z}$の積分を考える。
経路 $C_1 : \gamma_{-} + \Gamma' + \gamma_{+} + \Gamma$,
経路 $C_2 : \gamma_{-} + \Gamma'' + \gamma_{+} + \Gamma$,
とする。
$f(z)$がコーシーリーマンの関係式を満たす正則関数であるならば,
$C_1$のように閉じた積分路の中に$f(z)$に極がない場合,$f(z)$の経路積分の値は,$I_1=\oint_{C_1} f(z) dz =0 $になる。
また$C_2$のように閉じた積分路の中に極がある場合は,$f(z)$の経路積分の値は,$I_2=\oint_{C_2} f(z) dz =2 \pi i \ \mathrm{Res} f(z)$になる。
$\oint_{C_1} f(z) dz = \int_{-R}^{-\varepsilon} \dfrac{e^{i x}}{x} dx + \int_{\Gamma'} \dfrac{e^{iz}}{z} dz + \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{i x}}{x} dx + \int_{\Gamma} \dfrac{e^{iz}}{z} dz =0$
第1項と第3項をまとめて,第2項と第4項は $z=r e^{i \theta}$と極座標表示して,
これから$\varepsilon \rightarrow 0, \ R \rightarrow \infty$の極限をとると,
$\displaystyle 2 i \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx - \pi i + 0 = 0$
同様に積分路$C_2$については,$\mathrm{Res}(z=0) f(z) = 1$ なので
これから$\varepsilon \rightarrow 0, \ R \rightarrow \infty$の極限をとると,
$\displaystyle 2 i \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx + \pi i + 0 = 2\pi i$
いずれにしても,$\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2}$
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