三角形（３）

三角形（２）からの続き

ネットで筒井さんが以下の小学生向けの問題を話題にしていたけれども，自分ではさっぱり解けそうにない。しかたがないので，AIに聞いてみるのだが，どれももっともらしい証明を与えているけれど間違っているようだ。Gemini 2.5 Proでようやくなんとか理解できる結果がでてきたので整理したみた。なお，三角法の最後の導出部分はChatGPT-5が正しい答えを教えてくれた。

二等辺三角形ABCにおいて，AB=AC，∠A=20° である。辺AC上にAD=BCとなる点Dをとる。

問題はx=∠BDCを求めることである。なお，∠B=∠C=80°である。

（１）初等幾何

三角形ABC内部に点Eをとって，三角形EBCが正三角形になるようにする。

このとき，BC=EC，∠ABE=∠ACE=80°-60°=20° である。

点Aと点Eを結んでできる三角形ABEと三角形ACEは合同であり，∠CAE=∠BAE=10°となる。

そこで，三角形ACEにおいて，∠AEC=180°-20°-10°=150° となる。

さて，三角形ABDと三角形CAEにおいて，AB=CA，AD=EC，∠DAB=∠ECA=20°。∴三角形ABDと三角形CAEは合同。∴∠ADB=∠CEA=150°。∴x=∠BDC=180°-150°=30° 

（２）三角法

余弦定理から

三角形BAD：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos 20°

三角形BCD：c^2 = b^2 + (a-b)^2 - 2b(a-b) cos 80°

 ∴ -2a (1- sin10° ^2) = b -2a -2(a-b) sin 10°

これを解くと，b = 2a sin 10°

三角形BCD：b^2 = c^2+(a-b)^2 -2c(a-b) cos x

cos^2 x - 3/4 = ((c^2 + (a - b)^2 - b^2 )/(2 c (a - b) ))^2 - 3/4 = 0 となることが確かめられる。

∴ cos x = √3/2，x = 30°

図：頂角が20°の二等辺三角形