積分（３）

中嶋慧さんがある積分について語っていた。

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1  \int_0^1  \sqrt{x^2+y^2+z^2} \ dx dy dz $ を求めるというものだ。

ChatGPT-5 Pro で 15分20秒かかったらしい。Hypercube Point Picking とよばれるものだ。

(1) Mathematica 14.3 の場合

Mathematicaが14.3にバージョンアップしていたので，試しにやらせてみた。だめだ。$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1  \sqrt{x^2+y^2} \ dx dy $は解けるが，3次元にすると5分かかって undefined ときた。

仕方がないので，1変数ずつ順次やらせてみた。

Integrate[Sqrt[x^2 + y^2 + z^2], {x, 0, 1}]

1/2 (Sqrt[1 + y^2 + z^2] + (y^2 + z^2) ArcTanh[1/Sqrt[1 + y^2 + z^2]])

Integrate[1/2 (Sqrt[1 + y^2 + z^2] + (y^2 + z^2) ArcTanh[1/Sqrt[1 + y^2 + z^2]]), {x,0,1}]

1/24 (8 Sqrt[2 + z^2] + 2 (5 + 9 z^2) ArcCoth[Sqrt[2 + z^2]] +  Log[1 - I z] + Log[1 + I z] 

- 2 Log[1 + Sqrt[2 + z^2]] + z^2 (4 z (ArcCot[z Sqrt[2 + z^2]] - 3 ArcTan[z] + 

 3 ArcTan[(1 + z^2 - Sqrt[2 + z^2])/z]) + 9 Log[1 - I z] + 9 Log[1 + I z] 

- 6 (2 Log[-1 + Sqrt[2 + z^2]] + Log[1 + Sqrt[2 + z^2]])))

Integrate[ 同上, {z,0,1}]

1/72 (18 Sqrt[3] - 3 \[Pi] + 24 ArcCoth[Sqrt[3]] -  4 Log[1351 - 780 Sqrt[3]]) 

NIntegrate[Sqrt[x^2 + y^2 + z^2], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}]

0.960592

数値はあっているが，中嶋さんの答えと表式が異なっている。なぜ？

(2) ChatGPT-5 Thinking の場合

9分24秒かけて

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1  \int_0^1  \sqrt{x^2+y^2+z^2} \ dx dy dz =\dfrac{\sqrt{3}}{4} -\dfrac{\pi}{24} - \frac{1}{2} \log 2 + \log(1+\sqrt{3})$ 

この食い違いについてChatGPT-5に尋ねてみると，

まず，${\rm ArcCoth}[\sqrt{3}] = \frac{1}{2}\log \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \log(\sqrt{3} + 1)-\frac{1}{2} \log{2} $

つぎに，${\rm Log}[1351 - 780 {\rm Sqrt} [3]] = \log (2-\sqrt{3})^6 = 6 \log (2-\sqrt{3}) $

$= 6 \log \dfrac{1}{2+\sqrt{3}} = -6 (2 \log(\sqrt{3}+1) - \log 2) $

$\therefore 1/72 (24 {\rm ArcCoth}[{\rm Sqrt} [3]] -  4 {\rm Log}[1351 - 780 {\rm Sqrt} [3]])  =  \log(\sqrt{3}+1) - \frac{1}{2} \log 2 $

これで無事に一致することが確かめられた。