　　　　On a Thread of the Web: 軸対称電荷分布（２）

2022年11月24日木曜日

軸対称電荷分布（２）

前回の

$z$ 軸対称で，

$x-y$ 平面にも対称な電荷分布のつくるクーロンポテンシャルは，

$\displaystyle V(r, s) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{n=0}^\infty P_n(s) \int_{0}^{1} \int_0^{R(t)} \rho(r', t) P_n (t) \Bigl\{ \dfrac{1}{r_>} \bigl (\dfrac{r_<}{r_>}\bigr)^n \Bigr\} 4\pi r'^2 dr' d t\$ であった（ただし，

$s=\cos\theta$ ，

$t=\cos\theta'$ ）。

最初に球対称の場合で，上記の式を確認する。このとき

$R(t) =R$ ，

$\rho(r', t) = \rho(r') = H(R-r') \rho_0$ である。

$H(x)\$ はヘヴィサイドの階段関数，

$\dfrac{4\pi}{3} R^3 \rho_0 = Ze$ である。

このとき

$\ n=0\$ の項だけが残り，

$\displaystyle V(r) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^{R} \rho_0 \dfrac{1}{r_>} 4\pi r'^2 dr'$

(1)

$r>R\$ の場合：

$\displaystyle V(r) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^{R} \rho_0 \dfrac{1}{r} 4\pi r'^2 dr' = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} 4\pi \rho_0 \dfrac{1}{r} \int_0^{R} r'^2 dr' = \dfrac{-Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r}$

(2)

$r<R\$ の場合：

$\displaystyle V(r) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} 4 \pi \rho_0 \Bigl\{ \int_0^r \dfrac{1}{r} r'^2 dr' + \int_r^R \dfrac{1}{r'} r'^2 dr' \Bigr\}$

$\displaystyle = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} 4 \pi \rho_0 \Bigl\{ \dfrac{1}{r} \dfrac{r^3}{3} + \left [ \dfrac{r'^2}{2} \right ]_r^R \Bigr\} = \dfrac{-Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0} \Bigl\{\dfrac{r^2}{R^3} + \dfrac{3(R^2-r^2)}{2R^3}\Bigl\}$