フェルミ分布

月曜の授業の予習シリーズ。

位相空間（$\mu$空間）の細胞に含まれる状態数は，プランク定数を$h$として，$dn=\frac{1}{h^3} dx dy dz dp_x dp_y dp_z$である。電子のようなスピン1/2のフェルミ粒子を考えると，位相空間の各状態にスピンアップとダウンの2状態がともなう。そこで，単位体積をとって，運動量空間細胞に含まれる状態数は $dn' = \frac{2}{V_0} \int_V dn = \frac{2}{h^3}dp_x dp_y dp_z  = \frac{8 \pi}{h^3} p^2 dp$となる。ただし，$p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2$。粒子の質量を$m$，エネルギーを$w=\frac{p^2}{2m},\ p=\sqrt{2mw}$とすると，$dw=\frac{p}{m}dp\ $より，$dn'=\frac{8 \pi}{h^3} \sqrt{2m^3 w}\ dw\ $となる。

この系のフェルミ分布関数は，$f(w_i)=[\exp(\frac{w_i - w_F}{kT}) + 1]^{-1}$である。ただし，$k$はボルツマン定数，$T$は系の絶対温度，$w_F$はフェルミ準位を表わす。これから，エネルギーの分布関数は，$N(w)dw= \frac{8 \pi}{h^3} \sqrt{2m^3 w} [\exp(\frac{w - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dw$となる。これを速度空間の表式にひきもどして，$v_x,v_y$で積分すると$\ v_z$の分布関数が得られる。

そこで，次の関係式に留意する。$\int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y\int_{-\infty}^{\infty}dv_z f(v_x,v_y,v_z) = 4\pi \int_{0}^{\infty} f(v^2)\ v^2 dv $

$w=\frac{m}{2}v^2$，$dw = m v\ dv$なので

$4\pi \int_{0}^{\infty}f(v^2)  v^2 dv = 4\pi \int_{0}^{\infty} f(v^2)  \frac{v}{m} dw =  \int_{0}^{\infty} 4\pi f(v^2)  \sqrt{\frac{2w}{m^3}} dw$

そこで，$N(w)dw =  4\pi f(v^2)  \sqrt{\frac{2w}{m^3}} dw\ $とおけば，$f(v^2)=N(w) \frac{1}{4\pi} \sqrt{\frac{m^3}{2w}}\ $となるので，$\ v_z$の分布関数 $N(v_z) dv_z$は次式で与えられる。

$N(v_z) dv_z = \int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y f(v_x,v_y,v_z) dv_z =  \int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y N(w) \frac{1}{4\pi} \sqrt{\frac{m^3}{2w}} dv_z$

$= \int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y \frac{2m^3}{h^3} [\exp(\frac{w - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dv_z$

$v_x, v_y$平面での積分を2次元の極座標によって実行するため，$u^2=v_x^2+v_y^2$とおいて，$dv_x dv_y = 2\pi u du$となる。

$\therefore \quad N(v_z) dv_z = \frac{4\pi m^3}{h^3} \int_0^\infty du u  [\exp(\frac{\frac{m}{2}(u^2+v_z^2) - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dv_z$

$= \frac{4\pi m^3}{h^3} \int_0^\infty \frac{1}{2} dt  [\exp(\frac{\frac{m}{2}(t+v_z^2) - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dv_z$

ここで，$a=\exp(\frac{\frac{m}{2}v_z^2 - w_F}{kT})$，$b=\frac{m}{2kT}$とおけば，必要な積分は$\int_0^\infty \frac{1}{a \exp(bt) + 1}dt$となり，その値は$\ \frac{1}{b}\log(1+1/a)\ $である。これより，$N(v_z) dv_z = \frac{4\pi m^2 kT}{h^3} \log (1 + \exp(\frac{w_F - \frac{m}{2}v_z^2}{kT})) dv_z$

これらの分布関数をMathematicaでプロットすると次のようになる。

f[w_, kT_] := Sqrt[w]/(Exp[(w - 1)/kT] + 1)
Plot[Table[f[w, 0.01*k], {k, 1, 10, 2}], {w, 0, 2},PlotRange -> {0, 1}]
g[v_, kT_] := kT/2 Log[(Exp[(1 - .5*v^2)/kT] + 1)]
Plot[Table[g[v, 0.01*k], {k, 1, 10, 2}], {v, 0, 2},PlotRange -> {0, 0.5}]

図１：エネルギー分布関数　N(w)

図２：速度分布関数　N(v_z)

モル比熱

かつて 中学校で熱について学んだとき，もっとも重要な基本法則は熱量と温度と比熱の関係だった。これが重要であることは，大学の熱力学でもそうなのだけれど，あくまでも熱力学第一法則と第二法則の脇役であって，電磁気学のオームの法則のようなものだ。

物質量が$\ n\ $モルの体系に熱量$\ d'Q\ $を与えたときに，温度が$\ dT\ $だけ増えたとする。系の温度を1K上げるために必要な熱量である熱容量$\ {\rm [J/K]}\ $は，$\frac{d'Q}{dT} $で与えられる。このとき，系の体積を一定にするならば定積熱容量 $C_V$，系の圧力を一定にするならば定圧熱容量 $C_p$ とよぶ。これらは物質量に比例する示量変数である。

熱力学の第一法則より $\ d'Q = dU + pdV = dU + d(pV)-V dp\ $が成り立つ。したがって，$C_V = \frac{dU}{dT}$，$C_p=\frac{dU}{dT} + \frac{d(pV)}{dT}$となる。ここで，理想気体を考えると，状態方程式 $\ pV = n R T\ $が成り立ち，$C_p=C_V + n R$と表わされる。

単位質量あるいは単位物質量あたりの熱容量が比熱容量＝比熱となる。定積モル比熱は$c_V=\frac{1}{n}C_V$，定圧モル比熱は$c_p=\frac{1}{n} C_p$と小文字の$c$で表わすことになるが，教科書を眺めると，そのあたりの定義や記号の使い方は必ずしもそろっているわけではなかった。

カルノーサイクル

熱力学の復習シリーズ，カルノーサイクルの練習をする。

　熱力学第一法則： $dU = d'Q + d'W = d'Q - p dV$

　理想気体の状態方程式： $pV=nRT$

　理想気体のポアソンの法則： $pV^\gamma = const,\quad T V^{\gamma-1} = const'$

　エントロピー： $dU = TdS -p dV,\quad dS = \frac{dU + pdV}{T}$

　内部エネルギー： $U = nC_{V}T$

■過程 A $\rightarrow$ B（$p_{\rm A}V_{\rm A}=p_{\rm B}V_{\rm B}$）

理想気体が高温熱源$T_{\rm H}$と接触を保ちつつ，一定の温度$T_{\rm H}$の状態を保ちつつ，熱量$Q_{\rm H}$をもらって膨張し，外へ仕事$W_{\rm AB}$をする。理想気体の温度は一定なので，内部エネルギーは$U_{\rm B}=U_{\rm A}$であり，熱力学第一法則より$W_{\rm AB}=Q_{\rm H}$である。

外部にした仕事は，$W_{\rm AB}=\int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}}p dV = \int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}}\frac{nRT_{\rm H}}{V} dV=nRT_{\rm H}\log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} = Q_{\rm H}$

エントロピー変化は，$S_{\rm AB}= \int_{\rm A}^{\rm B} dS = \int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}} \frac{p}{T} dV = \int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}} \frac{nR}{V} dV = nR \log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} = \frac{Q_{\rm H}}{T_{\rm H}}$

■過程 B $\rightarrow$ C（$p_{\rm B}V_{\rm B}^\gamma=p_{\rm C}V_{\rm C}^\gamma \quad T_{\rm H} V_{\rm B}^{\gamma-1} = T_{\rm L} V_{\rm C}^{\gamma-1}$）

断熱壁と接触する理想気体が，熱の流入なしに断熱的に膨張して外に仕事$W_{\rm BC}$をする。熱力学第一法則によって，理想気体の内部エネルギーは$U_{\rm B}$から$U_{\rm C}$まで減少し，温度は$T_{\rm L}$まで下がる。熱の出入りがないのでエントロピーは変化しない。

外部にした仕事は，$W_{\rm BC}=\int_{V_{\rm B}}^{V_{\rm C}}p dV = \int_{\rm B}^{\rm C} -dU = U_{\rm B}-U_{\rm C} = U(T_{\rm H}) - U(T_{\rm L})= n C_V (T_{\rm H}-T_{\rm L})$

■過程 C $\rightarrow$ D（$p_{\rm C}V_{\rm C}=p_{\rm D}V_{\rm D}$）

理想気体が低温熱源$T_{\rm L}$と接触を保ちつつ，一定の温度$T_{\rm L}$の状態を保ちつつ，熱量$Q_{\rm L}$を放出して収縮し，外から仕事$W_{\rm CD}$がなされる。理想気体の温度は一定なので，内部エネルギーは$U_{\rm D}=U_{\rm C}$であり，熱力学第一法則より$W_{\rm CD}=Q_{\rm L}$である。

外部からされる仕事は，$W_{\rm CD}=\int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}}-p dV = \int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}}-\frac{nRT_{\rm L}}{V} dV=nRT_{\rm L}\log \frac{V_{\rm C}}{V_{\rm D}} = Q_{\rm L}$

エントロピー変化は，$S_{\rm CD}= \int_{\rm C}^{\rm D} dS = \int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}} \frac{p}{T} dV = \int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}} \frac{nR}{V} dV = nR \log \frac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} = - \frac{Q_{\rm L}}{T_{\rm L}}$

■過程 D $\rightarrow$ A（$p_{\rm D}V_{\rm D}^\gamma=p_{\rm A}V_{\rm A}^\gamma \quad T_{\rm L} V_{\rm D}^{\gamma-1} = T_{\rm H} V_{\rm A}^{\gamma-1}$）

断熱壁と接触する理想気体を，熱の流入なしに断熱的に圧縮して外から仕事$W_{\rm BC}$がされる。熱力学第一法則によって，理想気体の内部エネルギーは$U_{\rm C}$から$U_{\rm D}$まで増加し，温度は$T_{\rm H}$まで上がる。熱の出入りがないのでエントロピーは変化しない。

外部からされる仕事は，$W_{\rm DA}=\int_{V_{\rm D}}^{V_{\rm A}}- p dV = \int_{\rm D}^{\rm A} dU = U_{\rm A}-U_{\rm D} = U(T_{\rm H}) - U(T_{\rm L})= n C_V (T_{\rm H}-T_{\rm L})$

■カルノーサイクルの効率

1サイクルの過程${\rm A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A}$において，理想気体（作業物質）が外部にする正味の仕事は，$W = W_{\rm AB} + W_{\rm BC} - W_{\rm CD} -W_{\rm DA} = W_{\rm AB} - W_{\rm CD}$

$= nRT_{\rm H}\log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} - nRT_{\rm L} \log \frac{V_{\rm C}}{V_{\rm D}} = Q_{\rm H}-Q_{\rm L}$

このカルノーサイクルの効率は $\eta = \frac{W}{Q_{\rm H}} = \frac{Q_{\rm H}-Q_{\rm L}}{Q_{\rm H}} = 1 - \frac{Q_{\rm L}}{Q_{\rm H}}$で与えられる。

ところで，ポアソンの法則の温度と体積の関係式を組み合わせると，

$\frac{T_{\rm H}}{T_{\rm L}}=\Bigl( \frac{V_{\rm C}}{V_{\rm B}}\Bigr)^{\gamma-1}=\Bigl(\frac{V_{\rm D}}{V_{\rm A}}\Bigr)^{\gamma-1}$，

したがって，$\frac{V_{\rm C}}{V_{\rm B}}=\frac{V_{\rm D}}{V_{\rm A}} \quad \frac{V_{\rm A}}{V_{\rm B}}=\frac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} $

$\therefore \frac{Q_{\rm L}}{Q_{\rm H}}=\frac{nRT_{\rm L}\log \frac{V_{\rm C}}{V_{\rm D}}}{nRT_{\rm H}\log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}}}=\frac{T_{\rm L}}{T_{\rm H}}, \quad \eta = 1 - \frac{T_{\rm L}}{T_{\rm H}}$

■カルノーサイクルのエントロピー

$S = S_{\rm AB} + S_{\rm BC} +S_{\rm CD} +S_{\rm DA} = \frac{Q_{\rm H}}{T_{\rm H}} -  \frac{Q_{\rm L}}{T_{\rm L}} = nR \log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} + nR \log \frac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} = 0 $

カルノーサイクルでは，${\rm A} \rightarrow {\rm B}$の等温膨張過程で熱を吸収するとともに，理想気体のエントロピーが増加し，${\rm C} \rightarrow {\rm D}$の等温圧縮過程で熱を放出するとともに，理想気体のエントロピーが減少する。その結果，1サイクルが終了後にはエントロピーの増減はなくなり，エントロピーが状態量であることが保証されている。

図：カルノーサイクルのp-V図

ミクロカノニカル分布

 ミクロカノニカル分布について。

小正準集団（ミクロカノニカルアンサンブル）とは，外界から孤立した系の熱平衡状態を記述するための統計集団。考えている孤立系と粒子数（$N$），体積（$V$）が等しく，エネルギー（$E$）がある幅（$\delta Ｅ$）の範囲で等しい系（コピー）の集団である。その数は，下記で定義される微視的な状態数$W$に等しい。

考えている$\ N\ $粒子系の位相空間（$\Gamma\ $空間）とする。1粒子の位相空間（$\mu\ $空間）の体積が$h^f$で表わされるとき，$\Gamma\ $空間の細胞$\ d\Gamma\ $における微視的な状態数を$\ dW = \frac{1}{h^{Nf}} d\Gamma = \frac{1}{h^{Nf}} dq_1 \cdots dq_N\ dp_1 \cdots dp_N$とする。これから，$W= \frac{1}{h^{Nf}} \int_{E}^{E+\delta E} dq_1 \cdots dq_N\ dp_1 \cdots dp_N$

等重率の原理は，巨視的に観測される全エネルギーが$E$である小正準集団がすべておなじ重みで確率的な平均操作に寄与するというものである。この確率分布を小正準分布（ミクロカノニカル分布）とよぶ。このとき，ある物理量$A(q_1 \cdots q_N, p_1 \cdots p_N)$において，これを小正準分布を用いてその観測される期待値を求めると次式のようになる。

$\langle A \rangle = \int_{E}^{E+\delta E} A(q_1 \cdots q_N, p_1 \cdots p_N) dq_1 \cdots dq_N\ dp_1 \cdots dp_N / \int_{E}^{E+\delta E} dq_1 \cdots dq_N\ dp_1 \cdots dp_N$

等重率の原理を用いて，$N$粒子系の全位相空間の点を同じ確率で扱う根拠として，かつては，エルゴート定理をその根拠とする教科書が多かった。ところが，田崎晴明さんの統計力学の教科書（2008）でこれを否定してからは，こうした教科書は少なくなった。もっとも，高橋康さんの統計力学入門（1984）には，そのあたりはていねいに書いてあったのだった。

愛の設計図

松竹座で5月から始まる「藤山寛美三十三回忌追善喜劇特別公演」に関連したイベントがなんばパークスシネマで開催された。応募ハガキが当選したので授業前の時間を利用して大阪まで出る。

藤山寛美による1983年の松竹新喜劇公演の「愛の設計図」がDVD化されていて，これを上映したあとに，渋谷天外と藤山扇次郎のトークショウがあった。DVDの音源を利用しているからか，劇場の音響がちょっときつすぎて閉口した。

曽我廼家文童が情報処理プログラマーの試験に受かるところからはじまって，建設会社の現場監督と設計士を巡るドラマが進んでいく。アドリブも沢山入っているらしい藤山寛美のセリフは必ずしも全編に渡って流ちょうというわけでもないのだけれど，要所要所で観客の心をつかむ技はさすがである。

ラザフォード

 月曜日の授業の課題を考えていた。

先週のオリエンテーションの後，ゴールデンウィーク明けまでは，現代物理学の歴史の概論を講義する予定なので，現代物理学の基礎を築いた物理学者について調べてもらうことにする。で，Wikipediaの日本語版と英語版の記述量がかなり違うことを知ってもらうというのを目的として，英語版にはあって日本語版にない情報を選んで簡単に紹介してもらうという趣旨にした。

そのため，物理学者の一覧を作るべく調べていると，ノーベル物理学賞の受賞者にラザフォードの名前がない。原子の構造にたどり着いた一番肝腎な人物なのに，いったいどうしたことでしょう。というわけで，トイレからでて落ち着いてノーベル化学賞の方に，ソディやデバイなどとともに無事にリストされていた。

ちなみに，宿題に出したのは60名のリストからさらに精選した以下の24名とした。

ヴィルヘルム・レントゲン　W. C. Rontogen (1845-1923)
アルバート・マイケルソン　A. A. Michelson (1852-1931)
アンリ・ベクレル　A. H. Becquerel (1853-1908)
ジョゼフ・ジョン・トムソン　J. J. Thomson (1856-1940)
マックス・プランク　M. Planck (1858-1947)
ピエール・キュリー　P. Curie (1859-1906)
ヘンリー・ブラッグ　W. H. Bragg (1862-1942)
フィリップ・レーナルト　P. Lenard (1862-1947)
ビーター・ゼーマン　P. Zeeman (1865-1943)
マリ・キュリー　M. Curie (1867-1934)
ロバート・ミリカン　R. A. Millikan (1868-1953)
ジャン・ペラン　J. B. Perrin (1870-1942)
アーネスト・ラザフォード　E. Rutherford (1871-1937)
フレデリック・ソディ　F. Soddy (1877-1956)
マックス・フォン・ラウエ　M. von Laue (1879-1960)
ジェイムス・フランク　J. Franck (1882-1964)
マックス・ボルン　M. Born (1882-1970)
ピーター・デバイ　P. Debye (1884-1996)
ニールス・ボーア　N. Bohr (1885-1962)
エルヴィン・シュレーディンガー　E. Schrodinger (1887-1961)
アーサー・コンプトン　A. Compton (1892-1962)
ルイ・ド・ブロイ　L. V. de Broglie (1892-1987)
ヴォルフガング・パウリ　W. E. Pauli (1900-1958)
ボール・ディラック　P. A. M. Dirac (1902-1984)

原子の寿命

現代物理学の導入部分で， 古典物理学（ニュートン力学＋マクスウェル電磁気学）では原子の安定性が説明できないことがひとつの鍵になる。このためには，加速度運動する電子が電磁波を放出することを示す必要がある。ところが，加速荷電粒子からの電磁波の放出は，電磁気学で学ぶ最終コーナーであり，そこまで到達しない場合が多い。

お茶の水女子大学の理学部3年次編入試験では，この部分が次元解析で説明されていた。最初に，陽子（$+e$）の周りを円運動している電子（$-e$）の位置エネルギー$V(r)$を無限遠点を基準として求める。ただし，$r$は陽子から電子までの距離。クーロン定数は$k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$とするので，$V(r) = - k \frac{e^2}{r}$。

次に，この非相対論的な運動をしている電子（速度$\ v$，質量$\ m_e$）の全エネルギー$\ E\ $を求めると$\ E=\frac{1}{2}m v^2 - k \frac{e^2}{r}$。なお，円運動の向心力＝クーロン力から，$m_e \frac{v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2}\ $を用いると，$E = -\frac{k}{2} \frac{e^2}{r}\ $であり，加速度は$\ a = \frac{v^2}{r} = \frac{k e^2}{m_e r^2}\ $。

加速度運動する電子から単位時間に放出される電磁波のエネルギー $S\ {\rm [kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}]}$を，次元解析によって表わす。電子の加速度$\ a\ {\rm [m \cdot s^{-2}]}$，微細構造定数$\ \alpha\ $を使って$\ e^2\ k=\alpha \hbar c\ {\rm [kg \cdot m^3 \cdot s^{-2} ]}$ ，光速度$\ c\ {\rm [m \cdot s^{-1}]} \ $を用いると，$S \sim \alpha \hbar c \frac{a^2}{c^3}$ となる。以下では数係数を1とする。

円運動する電子が単位時間に失うエネルギーは，$-\frac{d E}{d t} = \frac{k e^2}{2} \frac{-\dot{r}}{r^2}=  \frac{\alpha \hbar c}{2} \frac{-\dot{r}}{r^2}$。これが上記の$S$と等しいことから，$\frac{\alpha \hbar c}{2} \frac{-\dot{r}}{r^2} = \alpha \hbar c \frac{a^2}{c^3} $，つまり，$\dot{r} = - 2 r^2 \frac{a^2}{c^3}$

ここで，$\frac{a}{c} = \frac{\alpha \hbar c}{m_e c r^2}\ $なので，$r^2 \dot{r} = - 2  \bigl( \frac{\alpha \hbar c}{m_e c^2} \bigr)^2 c\ $

初期状態で半径$r_0$の原子が電磁波を放出して半径0になるまでの時間を$\tau$とすると，

$\int_{r_0}^0 r^2 dr = \int_0^\tau - 2  \bigl( \frac{\alpha \hbar c}{m_e c^2} \bigr)^2 c\ dt\ $から，

$-\frac{r_0^3}{3} = - 2  \bigl( \frac{\alpha \hbar c}{m_e c^2} \bigr)^2 c \tau $

$\therefore \tau = \frac{r_0^3}{6 c} \bigl( \frac{m_e c^2}{\alpha \hbar c} \bigr)^2 $

$r_0=10^{-10} {\rm [m]}$，$\alpha = \frac{1}{137}$，$ \hbar c = 197 \times 10^{-15}{\rm [MeV \cdot m]}$，$m_e c^2 = 0.5 {\rm [MeV]}$，$c=3 \times 10^8 {\rm [m \cdot s^{-1}]}$ を代入すると，$\tau = 6.7 \times 10^{-11} {\rm [s]}$となる。

ファン・デル・ワールスの状態方程式

統計物理学の授業がはじまった。専門科目にしては受講者が多かったので，講義室は共通講義棟の１Ｆに割り当てられていた。授業の第１法則：受講者数は時間とともに指数関数的に減少する。授業の第２法則：受講者数の空間密度分布は教卓からの距離の逆数に比例して減少する。

最後にファン・デル・ワールスの状態方程式を紹介して授業を終えたところ，早速質問があった。理想気体では，$pV=n\ R\ T\ $だった状態方程式が，実在気体の場合$\bigl( p + \frac{a}{V^2} \bigl) (V - b) = R\ T\ $と書いてあるけれど，右辺にモル数の$\ n\ $が抜けているのかというものだ。

「あ，ごめんごめん，忘れてたわ」と返事して終ったものの，帰り道に380段の階段を下りながら考えてみると何だかおかしい。圧力の補正項$\ \frac{a}{V^2}\ $は分子間力によるものであり，気体密度の二乗に比例する項だと説明した。ところが，圧力は示強変数なのに，補正項の分母は示量変数の二乗になっている。つまり，$a\ $は定数ではなく示量変数の二乗に比例しなければならない。

演習課題の参考にしていた「熱学入門」（藤原邦男・兵頭俊夫）の式も同様の問題点を含んだままだった。そこで，いくつかの本などでファン・デル・ワールス方程式を調べてみると，気体のモル数を1モルに限定していたり，体積として$\ V\ $ではなく，モル当たり体積$\ V_m\ $を用いている。

ということで，正しくは，$n$モルの実在気体に対しては，$\bigl( p + \frac{a n^2}{V^2} \bigl) (V - n b) = n\ R\ T\ $としなければならない。$a, b\ $の値もこれまで考えたこともなかったが，お茶の水女子大学の理学部編入試験問題にも採用されているくらいであり，水（H2O）の場合，$a=5.54\times 10^{-1} {\rm [Pa \cdot m^6 \cdot mol^{-2}]}$，$b=3.05 \times 10^{-5} {\rm [m^3 \cdot mol^{-1}]}\ $だった。

これを使ってMathematicaで状態図をプロットしてみる。

図：水蒸気のファン・デル・ワールス状態図

a = 0.554; b = 3.05*10^-5; R = 8.314; 8 a/(27 R b)

647.331　・・・　（臨界温度）

p[V_, T_] := R T /(V - b) - a/(V^2)

q[V_, T_] := Abs[R T /(V - b) - a/(V^2)]

LogLogPlot[{q[V, 673], q[V, 647.33], q[V, 573], q[V, 473], q[V, 373], 

  q[V, 273]}, {V, 3*10^-5, 3*10^-4}, PlotRange -> {10^5, 10^9}]

Plot[{p[V, 673], p[V, 647.33], p[V, 573], p[V, 473], p[V, 373], 

  p[V, 273]}, {V, 3*10^-5, 3*10^-4}, PlotRange -> {-10^8, 10^8}]

渦 妹背山婦女庭訓 魂結び：大島真寿美

 最近，読書のスピードが極めて遅くなっている。本日，ようやく大島真寿美の「渦 妹背山婦女庭訓 魂結び」を読了した。2019年の第161回直木賞受賞作品だ。

もうすこし，重くて硬い作品かと予想して読みはじめると，意外に軽い文章だったので，始めのうちは少し慣れなかった。やがて，近松半二の物語についていくことができるようになった。この作品は操り浄瑠璃の竹本座の座付作者である近松半二（1725-1783）をテーマに選んだところが鍵だったと思う。

物語としては，やや物足りなかった。250年前に近松半二は，日高川入相花王（1759），奥州安達原（1762），本朝廿四孝（1766），傾城阿波の鳴門（1768），近江源氏先陣館（1769），妹背山婦女庭訓（1771），新版歌祭文（1780），伊賀越道中双六（1783）と，現在でも頻繁に上演されている，三大名作と近松の世話物以外の主要な浄瑠璃を次々と産み出した。それにも関わらず，操り浄瑠璃が歌舞伎に破れていくところが最も印象に残ったところだ。

もう一つは，妹背山婦女庭訓の主要登場人物のお三輪をふくめて，登場する女性陣がしなやかな強さをもっているところか。半二の妻はお佐久で，娘はおきみなのだが，これがどのようにして伊賀越道中双六の作者として名を連ねた近松加作につながっていくのかいかないのかは，次作の「結 妹背山婦女庭訓 波模様」を待たなければならないのか。

岡本綺堂の戯曲「近松半二の死」は青空文庫でも読める小編だが，そこでは祇園町の娘お作が加作につながることが暗示されている。

写真：大島真寿美の渦の書影（amazonnより引用）

abc予想（４）

 abc予想（３）からの続き

abc予想が正しければ，ただちにフェルマーの定理が簡単に証明されるとのことだが，事情は若干ややこしい。正確には，abc予想の(2)の表現において$\varepsilon = 1 $として，このときに，$K(\varepsilon)=1$が満たされればという条件がついてくる。ウェブ上ではこれを強いabc予想と書いているものもあるが，その表現がよいのかどうかはあまりはっきりしない。

(強いabc予想？)　$c < K(\varepsilon=1)  {\rm rad}(abc)^{1+(\varepsilon=1)} = 1 \cdot {\rm rad}(abc)^2 $ 

これからフェルマーの定理を導くのは次のようになる。

自然数$a,\ b,\ c\ $が互いに素であり，自然数$n > 6\ $に対して，$a^n,\ b^n,\ c^n\ $が abcトリプレットをなすとする。すなわち，$a^n + b^n = c^n\ $であって，$a^n < b^n$かつ$a^n,\ b^n\ $は互いに素。このとき，$c^n < {\rm rad}(a^n b^n c^n)^2 = {\rm rad}(a b c)^2 < (a b c)^2 < c^6\ $が成り立つ。

つまり，$n \ge 6\ $に対して，$a^n + b^n = c^n\ $は偽であることから，フェルマーの定理が $n \ge 6\ $に対して成り立つ。$n= 3, 4, 5\ $については別途成り立つことを示す必要があるが，これらはすでに証明されている。

これを少し詳しく見た様子は，黒川信重・小山信也による「ABC予想入門」に記述されている。

abc予想（３）

abc予想（２）からの続き

$c > rad(abc)\ $が成り立つabcトリプルを例外的abcトリプルとよぶことにする。そうはいっても前回は，これが無限個存在することも示している。例外的トリプルの個数を計算してみると，$c<1,000\ $で31個（全トリプル151,895個），$c<10,000\ $で120個（全トリプル個15,196,785），$c<100,000\ $で418個（全トリプル1,519,805,376）となる（最大10^15のオーダーまでの数の素因数分解を10億回しなければならないので，めちゃ時間かかった）。

これを計算したMathematicaコードは次の通り。

Rad[n_] := Times @@ (First /@ FactorInteger[n]);
f[n_] := {k = 0; Do[If[Rad[a*b*(a + b)] < a + b && GCD[a, b, a + b] == 1, k = k + 1], {a, 1, n/2 - 1}, {b, a + 1, n - a - 1}]; Print[k]};
g[n_] := {k = 0; Do[If[GCD[a, b, a + b] == 1, k = k + 1], {a, 1, n/2 - 1}, {b, a + 1, n - a - 1}]; Print[k]};
f[1000]
31
g[1000]
151 895

そこで，少しだけ条件を変更することで，例外的トリプルが有限個になるようにできないかを考えたところ，次のような予想が立てられた。(1)と(2)は同等であり，これがabc予想といわれるものである。

(1) 任意の$\varepsilon > 0$ に対して $c > {\rm rad}(abc)^{1+\varepsilon}\ $を満足するabcトリプルは高々有限個しか存在しない。

(2) 任意の$\varepsilon > 0$ に対してある $K(ε) > 0$ が存在し、全ての abcトリプルについて$c < K(\varepsilon) {\rm rad}(abc)^{1+\varepsilon}\ $が成り立つ。

abc予想（２）

 abc予想（１）からの続き

肝腎のabc予想である。準備のために，自然数 $n$ の根基（radical）を定義する。素数を$\{ p_i \}$として，$n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \cdots \ $と素因数分解できるとき，$n$ の根基が次のように定義される。${\rm rad}(n) \equiv p_1 \cdot p_2 \cdots \ $ 。例えば，${\rm rad}(120)={\rm rad}(2^2  \cdot 3^2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ 。

3つの自然数の組，$(a, b, c)$ において，$a+b=c\ $であり，$ a < b\ $が互いに素であるものを，abc-トリプルとよぶ。普通は，$c < {\rm rad}(a b c)$ であるが，$c > {\rm rad}(a b c)$も無限に存在しうる。そこで，ある形のabc-トリプルで後者の条件を満たすものが無限個あることを示す。

素数 $p>2$，自然数 $n>1$として，$a=1, b=2^{p(p-1)n}-1, c=2^{p(p-1)n}$というabc-トリプルを考える。このとき，${\rm rad}(a b c) = {\rm rad}(a) {\rm rad}(b) {\rm rad}(c) = 1 \cdot {\rm rad}(b)  \cdot 2 = 2\ {\rm rad}(2^{p(p-1)n}-1) $となる。

ところで，$b = 2^{p(p-1)n} - 1 = \bigl( 2^{p(p-1)} \bigr)^n - 1 = \bigl( 2^{p(p-1)}-1 \bigr) \bigl( \cdots  \bigr) = p^2 \cdot \bigl( \cdot \  \cdots  \bigr)$ とかけるので(*)，$\frac{b}{p^2}$は自然数である。そこで，${\rm rad}(a b c) = 2 \cdot {\rm rad} (p^2 \cdot \frac{b}{p^2}) \le 2 \cdot p \cdot  \frac{b}{p^2} = 2 \cdot \frac{b}{p} \lt \frac{2}{p} c$ 。ただし，$ {\rm rad}(m) \le m$ を用いた。

(*) フェルマーの小定理により，$2^{p-1}\ \equiv 1 \ ({\rm mod}\ p)$，すなわち，$2^{p-1} = k\ p + 1\ $なので，$2^{p(p-1)} = (k\ p + 1)^p = \Sigma_{r=0}^{p-1} C_r^p\ (k\ p)^{p-r} 1^r +1\ $。このため，$2^{p(p-1)}-1=(k\ p + 1)^p - 1\ $を展開した $k p$の最低次の項は，$C_{p-1}^p \cdot (k\ p) = k\ p^2$であり，全体は$p^2$を因子として持つ。

つまり，このabc-トリプルは任意の$n$に対して，$c > \frac{2}{p} c > {\rm rad}(abc)$ となるので，無限個存在する。

abc予想（１）

 NHKスペシャルの「数学者は宇宙をつなげるか？abc予想証明を巡る数奇な物語」の完全版（90分）が放映された。60分版にエピソードをいくつか加えて丁寧に編集していた。60分版を見た水野義之さんによれば，「素因数という言葉もさけて人間ドラマに仕立てた大失敗作だ」ということだが，そうでもないと思うけど。

Wikipediaのabc予想の記載は，現状をほぼ客観的に説明している。英語版のほうが淡白（冷淡）で，日本語版はややていねいに経緯を示している。NHKスペシャルでは，望月新一さん本人は取材を断っており，加藤文元さん，プリンストンでの望月の指導教官のファルティングス，批判派のピータ・ウォイトなどの話が中心となった。

番組でタイトルだけ紹介されたのが望月さんのブログからのキーワード「ノーと言える人間」であり，その説明はなかった。調べてみると，新一の「こころの一票」というブログの2017年11月21日に「心壁論」と，論理構造の解明・組合せ論的整理術を「心の基軸」 とすることの本質的重要性という記事があった。

abc予想を証明することができる宇宙際タイヒミュラー理論は，京大数理解析研究所のPRIMSで査読が完了して出版されたものの，世界の数学者の大勢は，その証明を認めていない。そんなこともあって，望月さんのこころの内がブログには表出されている。

望月さんは，5歳で日本を離れてからほぼ米国で生活し，16歳でプリンストンに入学し，23歳でPh. Dをとっている。そんな彼が欧米の大学のポストではなく日本の京大に職を得たことに理由に相当する，英語圏での生活における強い違和感が詳しく述べられている。

許容される表現のイメージ全体に一つの固定された「座標系」を敷き、表現のイメージ全体を通して　同一の「座標系」＝「視点」＝「声」＝「神」＝「心の基軸」しか認めないという姿勢を徹底することにはどうしても強い違和感を覚える

「ノーと言える人間」 というのは，例の盛田昭夫と石原慎太郎の1989年の著書「NO」と言える日本―新日米関係の方策」からきている。これが，欧米のメインストリームの数学者を権威主義的に敬う空気への強烈な拒否感として現れたものにほかならない。

P. S. 新一の「こころの一票」にNHKスペシャルについての評価に関する記事が掲載された。なかなかおもしろい（2022.5.3）。

にほんごであそぼ

 4月のNHKの番組改編では例年より大幅なものとなった。その中でも，Eテレのにほんごであそぼの評判が極めて悪かったので，録画を飛ばし飛ばしちょっとだけチェックしてみた。

うーん，頭にポットをつけたお姉さんが，百発百中の説明というかゲームに無駄な時間を費やすだけで時間が過ぎてゆく。部分的に以前のフレーバーが残っているものの，伝統芸能のかけらもなく，貴重だった織太夫，清介，勘十郎の文楽のコーナーも見当たらなかった。

1979年に福音館書店から出版された「にほんご」は，安野光雅，大岡信， 谷川俊太郎，松居直によって，小学校低学年の国語の教科書に代わるものとしてデザインされた労作だった。子供が小学校にあがるまで，ふとんの中でよく読んだものだ。そのフレーバーやコンセプトがふんだんに盛り込まれたのが，NHKの「にほんごであそぼ」だったが，番組改編で大変残念なことにそれが失われてしまった。

NHKはニュース系がひどくても，Eテレがあるからと我慢していた。この調子だと本当に全部がダメになりそうで怖い。まあ，あの優等生的で擬似中立主義的な総体による隠れた洗脳が問題だというのであれば，Eテレの優良番組だってどうなのよということかもしれないが。

写真：福音館のにほんごの書影（福音館書店から引用）

Wボソンの質量

4月7日付のScienceに，CERMのCDF実験によるWボソン質量の精密測定の結果が報告された。アブストラクトを訳すと次のようになる。

素粒子間の弱い力の媒介となるWボソンの質量は，素粒子物理学の標準模型の対称性によって厳しい制約を受けている。ヒッグス粒子は，この標準模型の最後の欠落部分であった。ヒッグス粒子が観測された後，Wボソンの質量を測定することで，標準模型を厳密に検証することができる。

私たちは，フェルミ国立研究所のテバトロン加速器のCDFII検出器を用いて，重心エネルギー1.96 TeVの陽子・反陽子衝突で収集した8.8 /fb の積分光度に相当するデータを用いてWボゾンの質量M_Wを測定した。約400万個のWボゾン候補のサンプルを用いて，M_W = 80,433.5 ± 6.4 stat ± 6.9 syst = 80,433.5 ± 9.4 MeV/c^2 を求め，その精度はこれまでのすべての測定値を合わせたものを超える。この測定は、標準模型の予想と大きく異なる（注：標準理論では，M_W = 80,357 ± 6 MeV/c^2，7σの食い違い）。

標準理論の綻びは，ミューオンの異常磁気能率 のところにも現れていたので，いよいよ新しい物理が見えそうな期待感が高まる。ただ，野尻さんは論文のアペンディックスを見て懐疑的な感想を述べているので，まだどうなるかわからない。Wボソンの質量とニューオンの異常磁気能率の組み合わせが，標準理論の矛盾を大きくする方向に働いているようだ。

早速，様々な理論が話題になっているけれど，レプトクォークよりヒッグス粒子のダブレットの方が無難なのかもしれない。

 

写真：CDF 検出器（FNALから引用）

うさみ亭マツバや

大阪のきつねうどんの起源には諸説あるが，うさみ亭マツバやが元祖だというのがなんとなく有力らしい。一度行こうと思っていたので，午後の文楽のついでによってみた。

心斎橋筋を北に向かい，ちょっと右に折れると間口の狭いこじんまりした店があった。11:00開店で，11:30ごろについたが，既にお客さんがかなり入っている。早速きつねうどんとミニ親子丼のセットを注文した。

感想：味は普通。麺はやや太めでもっちゃりする。うどんの断面が丸くて箸から滑りました。油揚げも普通だ。これならば自宅で食べるスーパーの30円の生麺（断面は四角）＋市販の味付け油揚げと大差ない。ただ，ミニ親子丼は昔ながらの玉子とじ状態でおいしかった。

食べているうちにも次々にお客さんが入ってきて，2階の席にも案内されている。隣の席ではおじさんが大阪弁で商売の話をしつつ「僕はしっぽくうどんにするわ」。お二人さんは，しっぽくうどんときつねとじうどんであり，なかなか味のある会話が流れてくる。

そういえば，金沢にいたころは，甘く炊いた大判の揚げのきつねうどんは存在しておらず，刻んだ揚げがのったいなりうどんだった。近所のうどん屋お多福の出前で，土曜の午後に天ぷらうどんとセットで食べていた。夏休みには泉丘高校のESSの部室に集まって勉強していたが，高橋君らと向かいのうどんやで大盛りのいなりうどんとかき氷を食べるのが日課だった。

入るときは気づかなかったが，大将がレジに座ってお会計をしていた。

写真：うさみ亭マツバや（撮影 2022.4.11）

摂州合邦辻

国立文楽劇場の四月文楽公演には，豊竹咲太夫文化功労者顕彰記念・文楽座命名150年のタイトルがついていた。第一部が義経千本桜，第二部が摂州合邦辻，第三部が嬢景清八嶋日記と契情倭荘子だ。コロナ流行が始まってからは，以前のような三部通しの観劇がしんどいので，今回は第二部を見ることに。

住吉大社，万代池や天王寺界隈が舞台である摂州合邦辻。その万代池の段は，三輪太夫，希太夫，南都太夫，津國太夫，咲寿太夫，清友が並ぶ。公演記録の録画カメラが入っていたので，皆さん気合が入っていたようだ。最後に，吉田玉也の合邦道心によって，高安次郎丸の鬼若が，万代池に投げ込まれるのだが，池から可愛らしい顔を覗かせながら幕となる。

合邦住家の段は，中：睦太夫・清馗，前：呂勢太夫・清治，切：呂太夫・清介だった。今日は睦太夫が良かったと，家人と意見が一致した。声もはっきりと大きく変な癖がない。呂勢太夫と清治のコンビはうまいのだろうが，どうも自分にはピンとこない。一番良かったのは，呂太夫と清介だった。三味線の迫力やテクニックもすごくて（三の糸が切れた？），呂太夫も清介も熱演だった。

後半の玉手御前と浅香姫の激しいバトルでのキックには思わず笑ってしまった。この段は何度か見ているはずだけれど，百万遍の大数珠のイメージはすっかり消えていた。奴入平の吉田玉勢が，玉手御前の肝を取り出すのをビビって拒む当たりも面白い。

物語では，寅年，寅の月，寅の日，寅の刻に生まれた女の生肝の血が俊徳丸の毒を消すための薬になるという設定になっている。今年は寅年である。寅の月は旧暦の正月であり，2022年では，2月4日から3月4日までだ。寅の日は，12日ごとに巡ってきて，この度では，2月6日（日），2月18日（金），3月2日（水）。寅の刻は，24時間を12で割った3番目なので，午前3時から5時となる。

写真：浪速区下寺西方寺にある合邦辻閻魔堂（Wikipediaより引用）

真木悠介

 4月10日の夜7:00のNHKニュースで，見田宗介（1937-2022）の訃報が流れた。そういえば昔よく読んだものだと本棚を探したけれど見あたらなかった。何度か本の断捨離をしたときに，寄付に回してしまったようだ。

テレビでは，「現代社会の理論 −情報化・消費化社会の現在と未来−」を見田の代表作の一つとしてあげていた。調べてみたらこれは1995年の岩波新書であり，そのころには読む気がしなくなっていたので買わなかった・・・たぶん。大学1,2年の頃に，筑摩書房の箱入りのシリーズで，真木悠介名義の「人間解放の理論のために」とか，見田宗介名義の「現代日本の心情と論理」を買って愛読していた。いずれも，1971年の出版である。

当時は，ディヴィッド・リースマンの「孤独な群衆」から始まって，社会学の本を何冊か読んでいた。大学の教養の人文科学・社会科学では，哲学，倫理学，心理学，政治学，経済学は履修したが，社会学は取らなかったので，その埋め合わせもあり，「社会学のすすめ」から始まって色々と読みあさった・・・たぶん。

社会学といえば，1972年に阪大教養部の助教授だった井上俊（1938-）の「死にがいの喪失（1973）」はまだ本棚で生き延びていた。当時は真木悠介の本の方が良いと思っていたはずなのだけれど。

Wordle（８）

Wordle（７）からの続き

Wordle支援プログラム word.py を改良して，出現しない文字を含む単語をとり除く処理を１行加えた。第3引数に出現しない文字を連結して並べたものを与える。

# usage: warp.py w.txt a.b.c def

import sys
import re

f = open(sys.argv[1], 'r')
datalist = f.readlines()
arg1 = sys.argv[2]
arg2 = sys.argv[3]

for data in datalist:
  if(re.search(r'\d* '+arg1, data) != None):
    if(re.search('['+arg2+']', data) == None):
      print(data, end="")

f.close()

Wordle（７）

Wordle（６）からの続き

wiki-5.txtは，WIkipediaデータセットのWikiText-103 word から5文字単語を取り出したものだった。これに対して，n-gramの出現頻度を，1-gram， 2-gram， 3-gramに対して求めるpythonプログラム ngrm.py を作る。1-gramはアルファベット1文字，2-gramは連続するアルファベット2文字，3-gramは連続するアルファベット3文字を表している。

ngrm.pyの出力結果は , を区切り文字として，出現回数とn-gramパターンの組なので，sort で区切り文字を , 数値として解釈した逆順をリダイレクトして適当なファイルに格納すると，1-gramから3-gramまで混ぜた出現頻度順のファイルが出来上がる。

# usage: ngrm.py wiki-5.txt | sort -n -r -t , >! alphabet 

import sys

a=[0 for i in range(26)]
b=[[0 for i in range(26)] for j in range(26)]
c=[[[0 for i in range(26)] for j in range(26)] for k in range(26)]

def n_gram(target, n):
  return [ target[idx:idx + n] for idx in range(len(target) -n + 1) ]

f = open(sys.argv[1], 'r')
datalist = f.readlines()

for data in datalist:
  for l in range(5):
    x = data[l]
    i = ord(x) - 97
    a[i] = a[i] + 1
    if l in range(4):
      y = data[l+1]
      j = ord(y) - 97
      b[i][j] = b[i][j] + 1
      if l in range(3):
        z = data[l+2]
        k = ord(z) -97
        c[i][j][k] = c[i][j][k] + 1

for i in range(26):
  if a[i] > 49:
    print(a[i],",",chr(i + 97))

for l in range(26*26):
  i = l // 26
  j = l % 26
  if b[i][j] > 49:
    print(b[i][j],",",chr(i+97)+chr(j+97))

for l in range(26*26*26):
  i = l // (26*26)
  j = (l // 26) % 26
  k = l % 26
  if c[i][j][k] > 49:
    print(c[i][j][k],",",chr(i+97)+chr(j+97)+chr(k+97))

f.close()

wiki-5.txtにおけるベスト50は次のとおりであった（数字は出現数）。

5730707 , e

4092848 , r

3965317 , a

3759319 , t

3424032 , s

3108801 , o

3068296 , i

2603632 , h

2600893 , l

2398537 , n

1734820 , d

1574948 , c

1501211 , u

1291809 , w

1195832 , m

1086248 , g

1076779 , er

964115 , f

962898 , th

882193 , b

801081 , p

746024 , te

729576 , y

674447 , he

651813 , ou

636278 , st

604734 , ar

563176 , hi

559096 , re

556926 , v

556020 , or

533535 , in

521374 , k

521197 , es

519713 , ch

518219 , ir

514744 , al

514410 , wh

493762 , the

473288 , ea

427832 , le

417701 , ic

412433 , whi

412193 , an

409812 , il

384013 , la

372098 , at

369592 , se

364056 , ed

362684 , ter

Wordle（６）

 Wordle（５）からの続き  　

Wordleを解くための支援プログラムを次のようなものとする。「5文字単語のデータベースを用意して，ワイルドカードを含む与えられた候補にマッチする単語を全て選び出して表示する」。perlでプログラムを組みたいところだったが，pythonの練習をすることにした。

5文字単語データベースとしては，前回示した WikiText-103 word Level からwords.shで処理したものを用いる。その後は，久々の python プログラミングなので，よちよち歩きながら試行錯誤する。

(1) コマンドラインの引数は，sysモジュールをimportすれば，sys.argv[n]でアクセスできる。sys.argv[0]はpythonスクリプト名，sys.argv[1] 以下で複数の引数を受け渡す。

(2) ファイルのオープンとクローズの方法は記載の通り。第1引数は先に求めてある5文字単語データファイル名である。

(3) テキストファイルを1行づつ分割して読み込むには，datalist=f.readlines() などとするとその結果のリストが 得られる。

(4) perlのようにdatalistから1行づつ取り出して処理をするのが，for data in datalist: である。

(5) 正規表現によるマッチングには，re モジュールをimportしたうえで，re.search(r'正規表現' , 原データ) という形式による。これが Noneでなければマッチしていることになる。

(6) 第2引数で入力する5文字のワイルドカードをピリオド（. ）にしておけばそのまま正規表現として使えてるので便利である。

(7) データファイルは，wc -l で生成しているので，頭に頻度を表した数桁の数字が空白を区切りに付加されているため，'\d* '+arg としている。文字列の結合には，プラス（+）演算子を用いる。

(8) print文で余分の改行を削除するには，end="" をつければよい。

# usage: word.py w.txt a.b.c
import sys
import re

f = open(sys.argv[1], 'r')
datalist = f.readlines()
arg = sys.argv[2]

for data in datalist:
# print(arg, data, re.search(r'\d* '+arg, data))
  if(re.search(r'\d* '+arg, data) != None):
    print(data, end="")

f.close()

Wordle（５）

Wordle（４）からの続き

前回の復習：英文のテキストデータセットと単語の文字数 n が与えられたとする。文字数がnの単語を1行とした一時ファイルを作る。大文字は小文字に変換している。次に，wc -l によって一時ファイルの行数＝n文字単語数を出力したものを並べたファイルを作る。また，上記の wc -l の前にsort | uniq フィルターをかけてユニークな n文字単語数についても同様のファイルを作る。これが，前回のwords.shプログラムのアルゴリズムだった。

具体例として，最初は手元にある数冊の英書の数千ページ（80MB）のpdfファイルからユニークにソートされた5文字単語（3万4千語）を抽出したものでテストした。もう少し大きなデータがないかと，オープンコーパスを色々探してみたが，なかなか適当なものがない。

最終的に，Wikipediaの記事を使ったデータセットにたどり着いた。多言語のWIki-40Bが前処理済で良さげだったが，TensorFlowを使えという指示が面倒であり，英語データで340万ページ2GBは大きすぎる。WikiText-103 Word Levelの方は，圧縮後181MBでそのままダウンロードできそうなので，こちらを使うことにした。

WikiText-103 Word Levelの解凍後のテキストデータは539MBあった。これをwords.shにかけると，1-20文字の単語（うちユニークな語）が約8300万語（約21万語），このうち5文字の単語（うちユニークな語）が約960万語（約2万4千語）であった。

WikiText-103 Word Level における，n文字単語（うちユニークな語）の出現頻度を下図に示す（オレンジが総語数の出現頻度，ブルーがユニーク語数の出現頻度）。n文字単語の出現ピークはn=3にあって約20%，ユニークなn文字単語の出現ピークはn=7にあって，約16%となった。5文字単語の場合は，ともに約11%となっている。

図：WikiText-103 Word Levelにおける単語出現頻度（横軸は文字数）

（春休み 8）

「月明や沖にかゝれるコレラ船」　（日野草城　1901-1956） 

（春休み 7）

  「花水木咲き新しき街生まる」　（小宮和子） 

（春休み 6）

「 鹿になる考えることのなくなる」　（阿部完市　1928-2009）

（春休み 5）

 「 みつまめをギリシャの神は知らざりき」　（橋本夢道　1903-1974） 

（春休み 4）

「 さきみちてさくらあをざめゐたるかな」　（野澤節子　1920-1995） 

（春休み 3）

  「満開のふれてつめたき桜の木」　（鈴木六林男　1919-2004）

（春休み 2）

 「手をつけて海のつめたき桜かな」　（岸本尚毅　1961-）

（春休み 1）

  「つなぐ手にをさなの湿り夕ざくら」　（千代田葛彦　1917-2003）

Wordle（４）

Wordle（３）からの続き

Wordleをやっていると，そもそも英語の文章で出てくる単語のうち5文字である確率はどんなものか，また，最もよく出現するのは何文字の単語なのか，などなどが気になるようになった。

これを調べるために，与えられたテキストファイルやpdfファイルから単語を切り出して，その文字数の分布を調べるためのシェルスクリプトを作ってみた。

case \$3 in
"txt")
echo "txt";
;;
"pdf")
echo "pdf";
pdftotext \$2.pdf;
;;
*)
echo "undefined";
;;
esac

for ((i=1 ; i<=\$1 ; i++))
do
perl -nse 'while (/\b[a-z]{\$num}\b/ig) {print "\$&\n";}' -- -num=\$i \$2.txt | tr A-Z a-z > tmp.txt
cat tmp.txt | wc -l >> \$2-\s1.txt;
cat tmp.txt | sort | uniq | wc -l >> \$2-\s2.txt;
rm tmp.txt
done

昨日のスクリプトを少しだけ修正すればよかったが，ポイントは，シェルスクリプト中の反復の記述法である。繰り返し変数は$をつけて，perlのワンライナーに受け渡すことができた。あとはこれを使って実験してみれば良いのだが，それはまた次回のお楽しみ。

Wordle（３）

Wordle（２） からの続き

Wordleは英語の勉強になる。簡単な5文字の英単語でも知らないものがたくさんあって，自分の語彙力はやはり10歳並みだということが確かめられる。そのため，辞書の助けがないと5-6回で答えに辿り着くことは出来ない。

巷には，Wordle Word Finderなどというツールも登場しているが，これでは英語学習の役には立たない。それでも，5文字の英単語のリストを収集したいという目的のために，次のようなツールを作った。与えられたテキストファイルあるいはpdfやhtmlファイルをテキストに変換したものから，perlのワンライナーで n 文字の単語を切り出すものだ。

pandocは汎用の文書型変換ツールだけれど，pdfやhtmlからテキストを取り出すという想定がない。あくまでも整形された文書変換ツールだからだ。そこでテキストファイルの取り出しには，pdftotextやtextutilなどのコマンドに任せることにした。また，シェルスクリプトの引数はperlのワンライナーにそのまま送れないので， -- -perl_var=\$shell_varとして，perlの中で\$perl_varによって引用することになる。

#! /bin/zsh
# usage: word.sh 5 sample pdf (tst, txt, pdf, html)
# output sample-5.txt

case \$3 in
"tst")
pwd;
ls -al \$1.txt;
ls -al \$2.*;
;;
"txt")
echo "txt";
perl -nse 'while (/\b[a-z]{\$num}\b/ig) {print "\$&\n";}' -- -num=\$1 \$2.txt | tr A-Z a-z > \$2-\$1.txt;
;;
"pdf")
echo "pdf";
pdftotext \$2.pdf;
perl -nse 'while (/\b[a-z]{\$num}\b/ig) {print "\$&\n";}' -- -num=\$1 \$2.txt | tr A-Z a-z > \$2-\$1.txt;
;;
"html")
echo "html";
textutil -convert txt \$2.html;
perl -nse 'while (/\b[a-z]{\$num}\b/ig) {print "\$&\n";}' -- -num=\$1 \$2.txt | tr A-Z a-z > \$2-\$1.txt;
;;
*)
echo "undefined"
;;
esac

ロフテッド軌道（３）

 ロフテッド軌道（２）からの続き

初速度を第１宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$に固定した場合，Mathematicaによるプロットを試みる。このとき，$u(\varphi)=A(\theta) \cos \varphi + B(\theta) \sin \varphi +\frac{GM}{h^2}$，$A(\theta)= - \frac{1}{R \tan^2 \theta }$，$B(\theta) = -\frac{1}{R \tan \theta}$，$\frac{GM}{h^2}=\frac{1}{R \sin^2 \theta}$ であり，Mathematicaのコードは以下のとおり。

In[1]:= {G, R, M} = {6.67*10^-11, 6.37*10^6, 5.97*10^24}
Out[1]= {6.67*10^-11, 6.37*10^6, 5.97*10^24}
In[2]:= {g, v} = {G M /R^2, Sqrt[G M/R]}
Out[2]= {9.81344, 7906.43}

In[3]:= A[t_] := 1/R*(1 - 1/Sin[t]^2)
In[4]:= B[t_] := -1/(R*Tan[t])
In[5]:= GM[t_] := 1/(R Sin[t]^2)
In[6]:= r[s_, t_] := 1/(A[t] Cos[s] + B[t] Sin[s] + GM[t])
In[7]:=
Table[f1[i] = Plot[{r[s, i]/R, 1}, {s, 0, Pi},
GridLines -> Automatic, PlotRange -> {0, 2.0}];, {i, 0.1, 1.5, 0.2}];
In[8]:= Show[Table[f1[i], {i, 0.1, 1.5, 0.2}]]
In[9]:=
Table[f2[i] = PolarPlot[{r[s, i]/R, 1}, {s, 0, Pi},
GridLines -> Automatic, PlotRange -> {0, 2.0}];, {i, 0.05, 1.5, 0.2}];
In[10]:= Show[Table[f2[i], {i, 0.05, 1.5, 0.2}]]

In[11]:= f[t_] :=
NIntegrate[ 1/Sqrt[G M R Sin[t]^2] *1/(A[t] Cos[s] + B[t] Sin[s] + GM[t])^2, {s, 0.001, Pi/30}]

In[12]:= Plot[f[t], {t, 0, Pi/8}]

図１：ロフテッド軌道（横軸$\varphi$ラジアン，縦軸$r/R$）

図２：ロフテッド軌道（上記と同じものを極座標表示）

この近似のもとでは，6500kmの高度に達する弾道ミサイルはほぼ地球を半周するところまで到達できるので，北朝鮮から米国本土全体が射程に入ることになる。鉛直上方から60度の角度で射出すれば，地球を1/4周するので1万kmまで到達できる。

実際には，空気抵抗があることや，初速度はロケットエンジンによる一定時間の加速によって獲得されることなどから，もう少し真面目な計算をする必要がある。

［１］ロケットの運動と人工衛星の打ち上げ（冨田信之）

ロフテッド軌道（２）

ロフテッド軌道（１）からの続き

重力場中の質点に対する２次元極座標系$(r(t), \varphi(t))$でのニュートンの運動方程式は次のとおり。

$ \quad \quad m \bigl( \ddot{r} -r \dot{\varphi}^2 \bigr) = F_r = \frac{G M m}{r^2}$

$ \quad \quad  m \frac{d}{dt} \bigl( r^2 \dot{\varphi} \bigr)  = F_\varphi = 0$

第2式は角運動量保存則に対応しており，$r^2 \dot{\varphi} = h$ (一定) が成り立つ。

これを第1式に代入して，$ \dot{\varphi}$ を消去すると，$  \ddot{r} -\frac{h^2}{r^3}  =\frac{G M}{r^2} $となる。そこで，$u(\varphi) =\frac{1}{r(\varphi)}$と置き，$\dot{\varphi} =h u^2$に注意して，運動方程式を，軌道の形を定める$\varphi$に関する微分方程式に書き換える。

$\dot{r} = \frac{d}{d\varphi} \bigl( \frac{1}{u} \bigr ) \dot{\varphi}= -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \ h u^2 =  -h \frac{du}{d \varphi}$

$\ddot{r} = \frac{d}{d\varphi} \bigl( -h \frac{du}{d \varphi} \bigr ) \dot{\varphi}= - h \frac{d^2 u}{d\varphi^2}  \ h u^2 =  -h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \varphi ^2}$

$\dot{\varphi}$を消去した運動方程式に代入すると， $-h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \varphi ^2} -h^2 u^3 = -GM u^2$，つまり，$\dfrac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = \dfrac{GM}{h^2}$であり，一般解は，$u = A \cos \varphi + B \sin \varphi + \frac{GM}{h^2}$ である。

初期条件から$A,\ B$を定めるには，$\dot{r} = -h \frac{du}{d \varphi}$の表式が必要となる。一般解を右辺に代入すると，$\dot{r} = h (A \sin \varphi - B \cos \varphi )$

半径$R$の地球の中心Oを原点にとった座標系において，$(x,y)=(R,0); (r,\varphi)=(R,0)$から鉛直上方（$x$軸正方向）となす角度$\theta$の方向に，初速度$v$で質量$m$の質点を投射する。このとき $r(0)=R$，$\dot{r}(0)=v_r=v \cos \theta$，$h = r(0)^2 \dot{\varphi}(0) = R v_\theta = R v \sin \theta$である。

これらから，$\frac{1}{R} = A+ \frac{g}{(v \sin \theta ) ^2}$，$v \cos \theta = - B R v \sin \theta$であり，$A=\frac{1}{R} - \frac{g}{(v \sin \theta ) ^2}$，$B = -\frac{1}{R \tan \theta}$となる。

なお，到達時間のオーダーは，$\frac{R \Delta \varphi}{v \sin \theta}= 800 \frac{ \Delta \varphi}{\sin \theta} $[s]となる。

図：ロフテッド軌道の例

ロフテッド軌道（１）

北朝鮮の火星17号弾道ミサイル実験でのロフテッド軌道は，高度6250kmで水平飛距離 1090km 飛行時間 67分というものだったと北朝鮮の労働新聞が報じたことをNHKが伝えている。地球の半径が6370kmだから，国際宇宙ステーション軌道の15倍以上の宇宙空間まで達している。

これを初速度 $v$を与えた鉛直投射によって地球半径$R$の高度まで達したと近似する。エネルギー保存則から，$\frac{1}{2}m v^2 - \frac{GMm}{R} = 0 -  \frac{GMm}{2R} $より，$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ となる（第１宇宙速度 7.9 km/s に一致するのか）。

地球半径のオーダの高度では，投射体に働く万有引力は地表の1/4まで減少するが，これを無視した$g=\frac{GM}{R^2}$の一様重力場とした。空気抵抗も無視して地球を平面と見なす。このとき，初速度が第１宇宙速度$ v $のミサイルを45度で斜方投射すると，最高度までの到達時間が $t=\frac{v}{\sqrt{2}g}$であり，水平到達距離$d$は，$d = 2 \frac{v}{\sqrt{2}} t = \frac{v^2}{g} = \frac{GM}{R} \frac{R^2}{GM} = R$ = 6400 km となる。飛行時間は，$2 t = \frac{\sqrt{2}v}{g} = 10^3\ {\rm s}$ = 17分。

この近似では，平壌からワシントンまでの11000 km には足りないのだった。もう少し真面目な計算をする必要がある。

Jxiv

国立研究開発法人科学技術振興機構（JST）が，3月24日から日本発のプレプリントアーカイブサービス，Jxivの運用を始めた。コーネル大学が運用している arxiv の二番煎じだけれど，何もないよりはマシかもしれない。なお，arxivでも一応日本語の投稿はできるのをみたことがあるし，論文の定義も比較的緩く感じる。

Jxivには，研究者IDである，ORCIDまたはresearchmapのアカウントがあれば登録できる。ただ，researchmapは微妙に面倒なことになっている。そもそもユーザ名が自分では指定できない記号数字の組み合わせだ。所属機関からも登録できるようにするためには仕方ないのかもしれない。

まだ，どの分野の論文も登録されていない。投稿規定やガイドラインを見ると，なんとなく面倒臭そうな雰囲気が満ちているのであった。日本のお役所仕事はどうしてこんなにガードが固くなるのだろうか。そうでなければ利権まみれとかグダグダとかになってしまうのだ。

図：Jxivのトップ画面

pandoc（３）

pandoc（２）からの続き

引き続き，markdown ファイル の活用例として，プレゼンテーション用のスライド作成に取り掛かる。見本（英文）は簡単に見つかって実行できたものの，日本語対応が面倒だと書いてある。あれこれ探してみても，出発点が RStudioの R Markdownというものが多いのだ。結局，日本語Markdownからスライド資料を作成する（Rcmdnk's Blog 2015）とBeamerスライドをMarkdownで簡単に作成（Tomokazu NOMURA's Web Page）を参考にした。

% kpsewhich beamerthemeSingapore.sty

% /usr/local/texlive/2021/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemeSingapore.sty

beamerのテーマファイルを上記のkpsewhichコマンド探し，これを編集して末尾に， \usepackage{luatexja} を加えることで日本語対応するということだった。設定ファイルに直接手を入れるのは気が進まないが，元のmarkdownファイルの1ページ目の yaml ヘッダで定義すれば十分であり，styファイルの修正は不要だった。その結果，次のコマンドで memo.md から memo.pdf というbeamerによるプレゼンテーションスライドが生成される。

pandoc -t beamer -o memo.pdf memo.md --pdf-engine=lualatex

memo.mdの1ページ目の yaml ヘッダは次のとおりであり，スライドの改ページは --- である。

---
title: "MarkdownからBeamer"
subtitle: "Pandocで変換"
author: "大阪教育大学　越桐國雄"
date: 2022/03/24
output:
beamer_presentation:
keep_tex: yes
latex_engine: lualatex
header-includes:
- \usepackage{bookmark}
- \usepackage{luatexja}
- \usetheme{Singapore}
---

図：mdファイルから生成したbeamerスライド

pandoc（２）

pandoc（１）からの続き

とりあえず，markdown ファイルから pdf ファイルが生成できるようになった。tex ファイルや html ファイルも生成できるので，その手順をまとめてみる。

(1) tex ファイルの場合

pandoc -s test.md -o test.tex

このtexファイルに対して，ドキュメントクラスを日本語対応に変更する。すなわち，\documentclass[]{article} → \documentclass[]{ltjarticle}として，コマンドラインから，lualatex test.tex とすれば，test.pdf が得られる。

置き換えを perl のワンライナーで実行すれば，シェルスクリプトに落とし込むことができる。

perl -pi -e 's/{article}/{ltjarticle}/' test.tex

(2) htmlファイルの場合

pandoc -s test.md -o test.html --mathml

pandoc -s test.md -o test.html --mathjax

どちらでもよいのだが，数式のまわりのhtmlは，mathjaxの方が少しだけスッキリしているかもしれない。

そこで，これらを zsh のスクリプトとしてまとめたものが次である。md.sh input option とすればよい。optionには{pdf, tex, html}のいずれかが入る。入力ファイルは input.md であり，拡張子より前の部分を引数に取ればよい。以下は md.sh の内容である。

#! /bin/zsh
case \$2 in
  "pdf")
    echo "pdf";
    iconv -f UTF-8-MAC -t UTF-8 \$1.md | pandoc -f markdown -o \$1.pdf -V documentclass=ltjarticle --pdf-engine=lualatex
  ;;
  "tex")
    echo "tex";
    pandoc -s \$1.md -o \$1.tex;
    perl -pi -e 's/{article}/{ltjarticle}/' \$1.tex
  ;;
  "html")
    echo "html";
    pandoc -s \$1.md -o \$1.html --mathjax
  ;;
*)
  echo "undefined"
  ;;
esac

［１］Pandoc User's Guide 日本語版

pandoc（１）

マークダウン（２）からの続き

マークダウンの使い方をみていると，コマンドラインベースで各種のドキュメントを相互に変換することができる，pandocとの相性が良いらしい。ということで，pandoc をインストールしようとしたら，すでに homebrew で導入済みだった。念のために，brew reinstall pandocで，pandoc 2.17.1.1が入った。

変換できるファイルの種類のカテゴリーは，次のように多岐に渡る。Lightweight markup (.md)，HTML (.html)，Ebooks (.epub)，Documentation，Roff，TeX (.tex)，XML，Outline，Word processor (.docx)， Interactive notebook (.ipynb)，Page layout，Wiki markup (MediaWiki)，Slide show (beamer)，Data (.csv)，Custom，PDF (.pdf)

厄介なことにマークダウンに関しては微妙に異なった方言が存在するのでなんだか意図した結果が出てこないと思っていたが，記法のミスだった。(1) 見出し，(2) 箇条書き，(3) 番号付き箇条書き，(4) 書体，(5) コード，(6) 数式，(7) 表，(8) 画像，(9) リンク，(10) 脚注 などが概ね機能している。見出しのレベルがまだはっきりわからない。番号付きリストの半角空白は3個にした。

iconv -f UTF-8-MAC -t UTF-8 test.md | pandoc -f markdown -o test.pdf -V documentclass=ltjarticle --pdf-engine=lualatex

上記が，macOS での pandoc の使用例である。入力ファイルは test.md，出力ファイルは test.pdf である。pdf 出力のためには lualatex を通す必要があることと，ファイルは標準の（macOS標準ではなく）UTF-8 形式にしておく必要があるのでiconvで漢字変換したものをpandocに食わせている（pdfファイルで濁点が分離してしまうのを防ぐらしい）。

.zshrcにパスを通して，md2pdf.sh という実行可能なシェルスクリプトを作ったので，引数を１つ指定すると，md2pdf.sh test1 のようにmdファイルからpdfファイルが生成できるようになった。

以下が，マークダウンファイル，test1.md の内容である。

# 見出し1(Title)
ここが段落の文章になる改行しても無視される 

空行があるためこの文章は第二段落となる

## 見出し2(Chapter)
これでは
あれでは

### 見出し3(Section)

#### 見出し4(Subsection)

- リストA
- リストB
  - 子リストB-a
    - 孫リストB-a-a
- リストC

- リストの文章1です。

  行の頭に半角スペースが二つあるので，
  リストの内部要素です。

- リストの文章2です。

行の頭に半角スペースがないので新しい段落です。

1. 番号付きリスト A
   1. 番号付き子リスト A-a
   1. 番号付き子リスト A-b
      1. 番号付き孫リスト A-b-α
      1. 番号付き孫リスト A-b-β
      1. 番号付き孫リスト A-b-γ
   1. 番号付き子リスト A-c
1. 番号付きリスト B

*italic* **bold** ***italic+bold***

\`inline_code\`

\`\`\`
display style code block
function test(a,b) {
return a+b;
}
\`\`\`
\$\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\$

\$\$
\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\$\$

|項目1|項目2|項目3|
|---|---|---|
|りんご| 10円| 3個|
|みかん| 50円|10個|
|いちご| |売り切れ|
|バナナ|100円| 2本|

[リンク先 https://pandoc.org/ をクリック](https://pandoc.org/)

画像も表示させられます。

Markdown エディタ NowType は Ito によって作られ た。 [^1]

NowTypeにおいては、次のような入力支援を行います。

[^1]: Atsushi M. Ito, プラズマ・核融合学会誌， vol. X, No. Y, 2020.

知の対価のデフレ

 東北大学の堀田昌寛さんがTwitterで「知の対価のデフレ」について発言したことが波紋を広げている。

インターネット上に無償の（物理や数学などの）専門知識コンテンツが溢れていることによって知の対価がデフレになっているとして，無償で学術コンテンツを公開している研究者やアマチュアに対して苦言を呈している。その趣旨は２つある。

（１）知識はタダで手に入るものという誤った考えが浸透することになり，知識生産（科学研究とその成果の解説や普及）やそれに携わる人たちの努力が報われなくなってしまう。これは，最終的に知的生産活動を毀損する方向に働くだろう。現に，専門書の市場がかなり縮小してしまい，売れなくなったとのことだ。

（２）人気のある無償コンテンツによって，量子力学の解問題などで典型的にみられる間違った知識が広がってしまう。なお，堀田さん自身のコペンハーゲン解釈の理解と解釈は正しいと主張している。無償コンテンツの流通が情報の質を低下させることに問題がある。

まあ，著作権法の精神がかなりビジネスサイドに歪められている状況で，著作権管理団体が主張している方向性に親和性のある発言である。彼自身が，投げ銭システムを使おうが，有償コミュニティを作ろうがそれはよろしいのだけれど，問題はこれまで無償で良質なコンテンツを公開してきた人に批判の矢を向けていることだ。実際，批難された人たちが様々なリアクションをしている。

堀田さんの量子力学の新しいタイプの教科書「入門　現代の量子力学　量子情報・量子測定を中心として」は，Twitterでの宣伝も功を奏してとても評判になったし，自分も購入している。それ以前の「量子情報と時空の物理」も買っており，量子力学の認識論的解釈という言葉に目を開かれる思いだった。

インターネットの黎明期から始まった知識情報やソフトウェア・データの民主化と公開化の流れや精神に自分は基本的に賛成であり，それらに非常に大きな恩恵を受けている。また，その結果として新しいビジネスモデルが展開されて，お金が動き始めることには全く問題はないと思う。しかし，原点である情報のオープン化に障害となるような発言を繰り返されるのは，影響力の大きな人だけに気になってしまう。なんだかなあ。

P. S. 1　Twitterでの堀田さんの発言はずっとウォッチしてきているが，微妙に道徳・宗教的なところや，変な理由で谷村省吾さんがサイエンス社のサイトで補足情報を出したことに噛み付いたりと，あまり良い印象のない部分がある。

P. S. 2　arxivやWikipediaやWeb Archiveにもお世話になっていて，わずかながら寄附したことはあるので，全くただノリをしているつもりはない。また，YouTubeには収益化機構があるので，これもOKだろう。

P. S. 3　堀田さん自身もお世話になっているはずの，オープンソースソフトウェアについて，彼はどう考えているのだろう。

マークダウン（２）

 マークダウン（１）からの続き

markdownを使うためのエディタとして何がいいのかを調べてみた。【2022年版】Markdown（マークダウン）エディタ厳選まとめなど色々ある。

一つは，Visual Code Studio や Atom などの高機能プログラム開発用ソースコードエディタである。元々日常的に使っているのであればこれで良いのだけれど，このためだけに大掛かりな道具立てを持ってくるのは，ちょっと本末転倒な感じがして，markdown の簡素さと相容れない。

そうなると，ウェブアプリとかローカルアプリになる。Boostnote，Joplin，Bear，Quiverなどを眺めてみたけれど，どれも面倒な印象だ。その中では，有償ではあるが Typoraがデザインもすっきりしていて相対的にマシなように感じた。$14.99なのでそれほど高額ではない。とりあえず，3週間は無料でお試しできるので導入してみた。

一通りのことはできるが，inlineの数式ができない。調べてみると，環境設定に１つチェックをすればOKなので，これでほぼ目的は達成できそうだ。使い込んではいないので，もう少し様子を見ることに。

そうこうしていたら，なんのことはない，Jupyter notebookに Code モードとMarkdown モードがあることがわかった。モードを切り替えてみれば，簡単な数式入力は問題なかった。これでいいのだ。最も，その先のことや pdf 出力のことを考えると，Typoraの方が良いかもしれない。

図：Typoraの購入画面 （3端末で使えるよ）

マークダウン（１）

湯川諭さんの 統計力学の本を読んでいたら，カノニカル集団の章で，ラプラス逆変換の式が重要なポイントとして出てきた。フーリエ変換は教えているけれど，ラプラス変換の方は長い間ご無沙汰だったので，復習することにした。

YouTubeで探してみると，量子アニーリングで有名な大関真之さんの授業動画が見つかった。これについての紹介は別にするとして，その中でマークダウン（markdown）への言及があり，数式も使えるよということだった。

Githubを見ていると，コードのドキュメントは必ずmarkdownで書かれたファイル（readme.mdなど）だったので，存在は知っていたが，数式が扱えることまでは知らなかった。そこで，ちょっと試してみるべく色々探してみた。なんだかどこかで見たような・・・うーん・・・なかなか思い出せなかったが，Wikiにおけるマークアップ構文と同じ類ではないか。

昔，本家のMediaWikiはデータベースが必要で重すぎたので，PukiWiki（PHPベース）やFSWiki（Perlベース）などの軽量Wikiを自分のサーバにインストールしてあれこれ試用していた時代があった。特にFSWikiが軽くてよかった。

図：なつかしのFSWikiのトップ（右上）画面

［１］日本Markdownユーザ会

［２］新入生のためのMD（マークダウン）入門（矢根真二）

pdfファイルの結合

（以下はMac環境でのお話）

作業していると，複数のpdfファイルを結合する必要が生ずることが多い。例えば，プレビューを使って左側にサムネールを表示させると，任意のポイントに別のpdfファイルをドラッグ＆ドロップして１つのファイルに結合することができる。この方法では，ファイル数が増えページ数が多くなると面倒だし上手くいかないことも多い。

そこで，これまでは，Autometerが内部で使っているpythonスクリプトである join.py をコマンドラインに引っ張り出して使ってきた。 "/System/Library/Automator/Combine PDF Pages.action/Contents/Resources/join.py"により，~/join.py -o x.pdf ~/Downloads/y-*.pdf などとしていた。

これが，この度のOSアップグレードで使えなくなってしまった。python2.7系列が存在しない。python3になっている。スクリプトのヘッダを#! /usr/bin/python3とするだけでいけるかと思ったが，そんな甘くはなくて，エラーだらけになってしまう。

そこで，別解を探してみたが，これがなかなか面倒だった。

(1) ImageMagickのconvertを用いると良いという話があった。ImageMagickをhomebrewで再インストールすると，convertが使えるようになった。試してみると直ぐに結果が出たので，これで解決と思ったら，結合前のpdfファイルに比べ，結合後のものは画像が荒すぎる。確かに上の参考リンク先にもこのことが書いてある。そこで，dpiを400とか300にして試したところ，処理時間やファイルサイズが10倍以上になってしまって使えない。

(2) pdf 結合 コマンドラインで探してみると，popplerというpdfレンダリングライブラリに，pdfファイルを複数結合するコマンドである，pdfuniteというのがあるということだ。これも早速インストールして実行してみると，エラーが出て進めない。

(3) さらに他のものをということで検索すると，pdftkというコマンドが見つかった。brew install pdftkではヒットしないので，brew search pdftkとすると，pdftk-javaが出てきたので，これをインストールしたところ，pdftkコマンドが使えるようになった。使い方の例は次の通り。pdftk input?.pdf cat output out.pdf である。outputという指示を加えることを忘れないようにしよう。ファイルサイズも問題なしだ。これでとりあえず問題は解決か。

メディア・ポートフォリオ（４）

 メディア・ポートフォリオ（３）からの続き

話を元に戻して，昨今の世界情勢や社会情勢を理解するためのメディア選択における自分の現下の偏ったメディア・ポートフォリオについて振り返りながら反省する。

（１）旧メディアの新聞・テレビ：日本経済新聞はほぼ惰性で購読しているけれど，政治欄はあまり信用しない。NHKのニュースや報道番組は眉に唾をつけながら見続けているが，キッチリ洗脳されている。民放には，報道特集とサンデーモーニングくらいしかないが，後者はかなり微妙でおかしい場合も多い。

（２）YouTubeチャンネル：外国特派員協会（*）・日本記者クラブ（話を聞いてみたい人がときどきでてくる），一月万冊（同じネタを同じメロディーで繰り返しているので最近見なくなりつつある），菅野完（かなりバイアスがかかっているが，ときどき必要な視点を提供してくれる），じゅんちゃん（菅野完のパクリ的要素が見られるが，専門家に果敢にアクセスしている），横川圭希（DELIさんの番組で話がきける），町山智弘（バークレー在住，ほぼ納得できる）。

（３）Twitter，ブログ：コロラド先生（情報分析はまじめにやっている），なすこ（話題になる事象を的確にとらえて表現している），外山恒一（まともなことを話している場合が多い），小田嶋隆（文章の技術はすごいかも），孫崎享（外務省ＯＢで金沢大学附属高出身）。

問題ごとに最適化された専門家を探して，プッシュ型で更新情報を取り入れる仕組みができればいいが，それを自動化するのは難しそうだ。本来はそれがマスメディアの機能なのだが，日本では壊滅状態かもしれない。ニュース番組は，自力での取材能力が欠如して思いの外ネット情報に依存してしまっている。だから怪しい専門家も平気で登場させている。となると，BBCやCNNなどの記事リストが一番ということになるのだろうか。

そういう意味で，ソーシャルニュースサイトのRedditには関心があるが，日本語コミュニティが形成されているのかどうか。いずれにせよ，インターネットの情報チャンネルは英米圏に極端に偏ってしまうのが難点だ。

P. S. 　3月17日11:00-12:00，ウクライナでの核使用可能性（Ukraine and the Scourge of Nuclear Weapons）に関して，元広島市長の秋葉忠利（1942-）さんが，外国特派員協会に招かれて非常に流暢な英語で質疑応答に対応していた。MITの大学院で数学を学び，アメリカの大学で20年近く教鞭をとっていたのか。

メディア・ポートフォリオ（３）

 メディア・ポートフォリオ（２）からの続き

メディア・ポートフォリオと他のポートフォリオを比較して，共通にある基本概念を簡単にスケッチしてみた。まだ，十分に考えを練っているわけではないので，あくまでも議論の端緒に過ぎないことに注意する。

図：各ポートフォリオの概念スケッチ

ポートフォリオを作成して保持する主体として，個人や法人がある。それらが一定の目的でポートフォリオを作成すると，これらが重みづけられたチャンネルとなって外界（世界，顧客，教師，雇主など）との相互作用（情報，マネー，製品・商品の移動）が生ずる。それによって，主体の価値評価関数の最適化を図るように，ポートフォリオのスペクトルを時系列や空間＝対象集合の変化に応じて決定することになる。

図では相互作用によるマネーや情報などの流れを一意的に示しているが，これはまだ十分に吟味できているわけではない。ポートフォリオの実体はアルゴリズムやデータの場合もあるし，マネーの契約物の場合もあるし，実際の制作物や商品や学習成果などを示す場合もある。

メディア・ポートフォリオ（２）

 メディア・ポートフォリオ（１）からの続き

こんなことは誰でも思いつくことだし，現に，FeedlyなどのRSSリーダーはそれに近いコンセプトだろう。そこで，ネットで「メディア・ポートフォリオ」を検索してみると，面倒なことに異なった意味で使われる場合がほとんどだった。

（１）ビジネス分野におけるマーケティング用語：例えば，リード・ジェネレーション（見込み顧客）を獲得するための広報活動では，どのようなメディアを組み合わせて用いるのが有効かという考え方だ。ここでは，ターゲットのボリュームや心理に応じたメディアの選択などが例示されている。

（２）教育分野におけるポートフォリオ評価用語：ポートフォリオ＋ルーブリック評価は，このところの流行であったが，動画や音声などのマルチメディアをどうやってうまくこれに組み込むかという論文が出ていた（保健体育教育の人なのか）。マルチメディア・ポートフォリオとして使われることが多い。

ポートフォリオを直訳すると「紙挟み」「書類いれ」であり，本来は，アート・デザイン・建築などの創作分野で，クリエイターが自分の作品を常に準備していて，新しい仕事の獲得のために自分の力量を示すものという意味で使われていた。それが，教育分野に転用された際に，クリエイターは児童・生徒に置き換わり，教師によって評価される対象としての学習記録総体を表わすこととなる。一方で，企業や個人の資産・投資分野では，リスクヘッジのために複数の金融商品や資産などを組み合わせて保持・運用することを意味している。

あ，忌まわしい，そして今はなき，Japan e-Portfolioを思い出してしまった。左記リンク先のコメントを書いた半年後の2020年8月に，野党の批判などを受けた文部科学省が「利用する大学が少なく，債務超過に陥り，今後の事業運営に必要な資産がない。プライバシーマークなど運営要件を満たす資格を取得していない」などの理由によって，Japan -Portfolioは運営の許可が取り消されている。

メディア・ポートフォリオ（１）

 ウクライナのニュースを見ていて，「メディア・ポートフォリオ」という言葉が頭に浮かんだ。

民放の情報番組（ニュースバラエティ）では，過激なお笑いタレントや芸能事務所所属のご意見番が，勝手な妄想を垂れ流しているらしい。というのも，そんな番組を見る気力がないので，Twitterなどの間接情報で聞き及んでいるだけだから。NHKやTBSの報道系番組でも問題によってはひどく偏った情報やプロパガンダで満ちている。

どうすればよりましな専門家や専門的知識を理解したジャーナリストの発信する情報を選択的に得ることができるのか。それについての一つの答えを，あまり信用できない佐々木俊尚が語っていた。それは，少数のこれはという専門家から出発して，その発信情報からのリンクをたどって，良質な情報発信者の集団を求めるというものだった。

佐々木がそこで例示している3人をみると，1人は東京大学先端科学技術研究センター専任講師の小泉悠であった。日本記者クラブでの3月9日のウクライナに関する会見を見たが，確かに話を聞く価値はある。ところが後の2人は佐々木の好きそうな怪しい雰囲気が満載であり，これではだめだ。結局自分のバイアスは必ず入らざるを得ない。

結局，社会的な問題について相対的に適切な情報を得るためには，問題に応じて信頼度の高い複数のメディアの集合を用意してそれらの比較からよりましな真実に近づく必要があるという考えに至った。これは，メディア・ポートフォリオと呼べるものではないか。日本記者クラブもその一つだし，BBCやCNNなどもこれを構成する要素になるだろうが，すべてのニュースに目を通しているわけにも行かない。一月万冊の平田悠貴による海外ニュースダイジェストは少し近いかもしれない。

ペントハウス

WOWOWの朝の韓国ドラマである。ペントハウス（21話）・ペントハウス２（13話）・ペントハウス３（14話）が終って，オッケー！グァン姉妹（50話）がはじまった。それぞれ 1話がコマーシャル無しで75分程度あるので日本でいえば90分ドラマ，大河ドラマの2話分に相当する。

韓国ドラマの現代物で最近見たものは，誰も知らない（16話），VIP（16話），夫婦の世界（16話），一度行ってきました（50話）など，どれもおもしろかったが，ペントハウスもなかなかインパクトが大きかった。

伏線のはり方や，手品のように視聴者を騙すトリックや，とんでもない設定や，激しい登場人物など，フラフラになりながら見ていた。第3シリーズの最終回までくると，さすがに制作側も疲れてきたのか，なんとなくハッピーエンド？風に終ってしまった。日本のドラマ（といってもほとんど見ていないが）のチマチマした作りと比べるとお金の掛け方が違うような気もする。

写真：ペントハウスに登場するヘラパレス

デジタル地域通貨

 天理市がデジタル地域通貨を始めるというニュース。

天理市の並河健市長は若くて頭がいいので，新しいことにいろいろと取り組んでいる。自民党に近いし，師匠が北岡伸一なのだけれど，これまでの市長としての発言内容にはおおむね好感が持てる。昨年のコロナワクチン接種開始時の対応もスムーズで，奈良県の他市町村と比べても接種率が高い状態をずっと維持していた。最近では，PCR検査体制も整えてた。

高市早苗に対抗して2012年に日本維新の会から衆議院選挙に出馬したが，その後離党している。そんなこともあるので，市立図書館をカルチュア・コンビニエンス・クラブ（TSUTAYA）に売り渡さないかだけが心配だ。

さて，そのデジタル地域通貨だが，朝日新聞によると次のようなものらしい。

第１段階：コロナ禍で低迷する地元の消費喚起で市内事業者の支援を図るため，5月から6月にかけて各世帯にアプリのダウンロード方法やデジタル地域通貨を得られるQRコードを載せたお知らせを送付（１ポイントは１円相当，ポイント名は未定。夏ごろから市内の加盟店舗で使える予定）。

第２段階：市民の地域貢献活動や健康増進活動への参加に応じて市からポイントを付与。市民活動に対して新たな価値を付加することで，まちづくりへの市民参加を促す。

第３段階：市民が自らポイントをチャージできるようにする。店舗で使用されたポイントの一部を福祉関係の施設に助成する流れも作り，地元消費に新たな価値を加える。

デジタル市役所もはじまったことであり，今後の展開にちょっと期待できるかどうか。 

ロシアの非友好国

 ロシアの非友好国，48カ国・地域のリストを眺めてみた。ロシアの債務者が「非友好国リスト」の債権者にドルなどの外貨ではなくルーブルで相当額を支払えば，債務を履行したとみなすとしている。ルーブルの価値はどんどん下がっているので，債権者はたいへんだ。

アメリカ合衆国，カナダ，※EU加盟全27カ国，英国，ウクライナ，モンテネグロ，スイス，アルバニア，アンドラ，アイスランド，リヒテンシュタイン，モナコ，ノルウェー，サンマリノ，北マケドニア，日本，韓国，オーストラリア，ミクロネシア，ニュージーランド，シンガポール，台湾。

（※EU加盟国：アイルランド，イタリア，エストニア，オーストリア，オランダ，キプロス，ギリシャ，クロアチア，スウェーデン，スペイン，スロバキア，スロベニア，チェコ，デンマーク，ドイツ，ハンガリー，フィンランド，フランス，ブルガリア，ベルギー，ポーランド，ポルトガル，マルタ，ラトビア，リトアニア，ルーマニア，ルクセンブルク）

一方で，NATO（北大西洋条約機構）の加盟国（全30カ国）のリストは次の通りである。

アイスランド，アメリカ合衆国，イタリア，英国，オランダ，カナダ，デンマーク，ノルウェー，フランス，ベルギー，ポルトガル，ルクセンブルク（以上原加盟国），ギリシャ，トルコ（以上1952年2月），ドイツ（1955年5月当時「西ドイツ」），スペイン（1982年5月），チェコ，ハンガリー，ポーランド（以上1999年3月），エストニア，スロバキア，スロベニア，ブルガリア，ラトビア，リトアニア，ルーマニア（以上2004年3月），アルバニア，クロアチア（以上2009年4月），モンテネグロ（2017年6月）北マケドニア（2020年3月）

（１）NATO加盟国で，EU非加盟国（９）：アイスランド，アメリカ合衆国，英国，カナダ，ノルウェー，トルコ，アルバニア，モンテネグロ，北マケドニア 

（２）EU加盟国で，NATO非加盟国（６）：アイルランド，オーストリア，キプロス，スウェーデン，フィンランド，マルタ

（３）NATO加盟国またはEU加盟国以外の非友好国（１２）：スイス，アンドラ，リヒテンシュタイン，モナコ，サンマリノ，日本，韓国，オーストラリア，ミクロネシア，ニュージーランド，シンガポール，台湾

（４）NATO加盟国であり非友好国でない国（１）：トルコ

図：EU加盟国一覧（Wikipediaから引用）

フラッグシップ大学（３）

フラッグシップ大学（２）からの続き

3月9日に，文部科学省から教員養成フラッグシップ大学の指定についての報道発表があった。15大学14件（国立大学13，私立大学2）の申請があり，7大学がヒアリングされ，4件が指定された。

指定されたのは，東京学芸大学，福井大学，大阪教育大学，兵庫教育大学の4件である。ヒアリングまで通過した他の3件は，北海道教育大学，上越教育大学，愛媛大学である。なお，教員養成系単科大学（11校）のうち，愛知教育大学はヒアリングを通過せず，宮城教育大学，京都教育大学，奈良教育大学，鳴門教育大学，福岡教育大学の5校は申請していない。

基本的には高等教育や学術研究予算の選択と集中の教員養成系版であり，複雑化した教員免許状の課程認定制度に特区的な要素を盛り込んでさらにカオスな体系にするものだ。企業との連携も必須条件であり，どうしても利権の影がちらついてみえる。まあ，今のGIGAスクール構想全体からみれば，微々たるものかもしれない。

それでも，大阪教育大学が選ばれたことは，例え毒饅頭だとしても関係者は喜んでいるのだろう。あるいは既定路線だったのかもしれないが，申請書をざっと眺めこれまでの歴史的経緯を考えれば，まあ妥当な4大学の指定だと思われる。

この間の経緯はおよそ以下のとおりである。途中で新型コロナウィルス感染症問題のために非常に急ピッチでスタートしたものが1年間遅れることになった。

2019年1月18日　教育再生実行会議提言中間報告（技術の進展に応じた教育の革新ほか）教育再生実行会議 技術革新ワーキング・グループでの検討部分，ここに東京学芸大学の松田恵示と東北大学の堀田龍也がワーキンググループの有識者として加わっている。

2019年3月20日　中央教育審議会初等中等教育分科会教員養成部会教員養成のフラッグシップ大学検討ワーキンググループの設置について（上記の中間報告提言を受けたものだが最終報告を待たないのか・・・）

2019年5月17日　教育再生実行会議第十一次提言（技術の進展に応じた教育の革新ほか）

2019年5月23日　教員養成のフラッグシップ大学検討ワーキンググループ第1回会議

2019年12月19日　教員養成のフラッグシップ大学検討ワーキンググループ第7回会議　Society5.0時代に対応した教員養成を先導する「指定教員養成大学（フラッグシップ大学）」の在り方について（最終報告 案）

2020年1月23日　中央教育審議会初等中等教育分科会教員養成部会（兵庫教育大加治佐学長＝部会長）で上記WGの最終報告を承認

2021年6月28日　中央教育審議会「令和の日本型学校教育」を担う教師の在り方特別部会　ここには，兵庫教育大学の加治佐哲也に加え，福井大学の松木健一が入っている。教員養成フラッグシップ大学の今後の進め方について，教員養成フラッグシップ大学推進委員会の設置について，が議論されている。

2021年7月30日　中教審初等中等教育分科会教員養成部会の教員養成フラッグシップ大学推進委員会第1回会議，東京学芸大学の高橋純とキャリアリンクの若江眞紀が臨時委員として加わっている。主査は

2021年8月4日　教育職員免許法施行規則等の一部を改正する省令の施行等について（文部科学省総合政策局長）

2021年8月6日　教員養成フラッグシップ大学の公募について（文部科学省総合教育政策局長）

2021年12月29日　教員養成フラッグシップ大学推進委員会第2回会議ヒアリング対象大学の選定

2022年1月18日〜20日　ヒアリング対象大学のヒアリング日程

2022年2月12日　教員養成フラッグシップ大学推進委員会第3回会議指定大学の選定

2022年2月22日　中央教育審議会教員養成部会【非公開】秋田主査から審議結果報告

なんだかんだいっても，東京学芸大学と兵庫教育大学の加治佐さんが中心となって（福井大学の松木さんの影の下）この問題が回っていった。出発点は，教育再生実行会議の技術の進展に応じた教育の革新 というピンポイントのテーマだったのが，いつの間にか，

「令和の日本型学校教育」を担う教師の育成を先導し，教員養成の在り方自体の変革を牽引するため，1 先導的・革新的な教員養成プログラム・教職科 目の研究・開発，2 全国的な教員養成ネットワークの構築と成果の展開，3 取組の検証を踏まえた教職課程に関する制度の改善への貢献等

という大風呂敷に変貌してしまった。そして，教職大学院の雄である福井大学と兵庫教育大学の得意分野のレトリックでべたべたと塗りたくられたグロテスクな提案書が並ぶことになってしまった。

図：日本の国立教員養成大学マップ（惜しかった愛媛大学提案書資料から引用）

P. S. 松木健一さんは福井大学の企画担当の理事だし，若江眞紀さんは兵庫教育大学の特命戦略理事になっていた。

Apple Event 2022 March

  日本時間3月9日午前3時（米国時間 3月8日午前10時），Apple Event 2022 March が開かれた。

最近は1時間でさらっと終るEventが中心になっているようなイメージだ。超強力な新しいM1 Ultra チップの紹介では，登場する開発者たちがすべて女性だった。ティム・クックは青いシャツに黄色いバンドのApple Watchをはめている。今回のプレゼンテーションは全体に地味な感じに抑えられていた。戦争中なのであまり浮かれて騒ぐこともできない。さて，今回の目玉は次のとおり。

（１）iPhone SE3：　大変魅力的なのだけれど，自分の生活圏がソフトバンクの5Gサービスエリアになるのは当分先のようなので，それまでは機種更新することはない。SE2とSE3の比較をすると，サイズは全く同じ，A13 BionicからA15 Bionicへ，RAMは3Gが4G，セルラーは4Gが5Gになり，バッテリは13hから15h。12MP（フロント7MP）のカメラの機能はほぼ同じだが，Deep Fusionが加わった，何それおいしいの？指紋認証があるのがありがたいが，あいかわらずLightningコネクタのままだった。

（２）iPad Air：　いま，自分が持っているiPad Pro 11" （第１世代）との違い。チップがA12XBionic からM1へ，セルラーモデルでは5Gが可能，12MPと7MPのカメラはフロントだけ広角12MPに。Apple Pencil 2 はともに使える。Proである必要はない

（３）Mac Studio：　Mac Studio M1 Max のほぼ最小モデルは，M1 Maxの10コアCPU+24コアGPU+16コア NeuralEngine，32GBメモリ，1TBストレージで，27万円（同じ構成で MacBook Pro 14" = 36.5万円）。一方，Mac Studio M1 Ultra の最小モデルは，M1 Ultraの20コアCPU+48コアGPU+32コア NeuralEngine，64GBメモリ，1TBストレージで，50万円。

MacBook AirのM1チップ（8コアCPU+8コアGPU）の8倍の面積を持つのが M1 Ultraチップである。M1 Ultraの処理性能はM1の数倍以上で旧MacProを越えているのだった。これに27インチのApple Studioディスプレイが20万円か。研究費が潤沢だった25年前ならばたぶん買っていた。コンパクトなのがなにより。

P. S. 1 ： その後，ベンチマークの情報も出てきたが，まだ，WindowsのゲーミングPCの最上位機レベルには達していないようだ。シングルコアの性能は，自分のM1 MacBook Airと同じだし。さらに，これは，次のMacProへの伏線であるという噂だった。あとM2との整合性や整理をどうするか問題とか。

P. S. 2 ： macOS 12.3（Monterey），iPad OS 15.4，iOS 15.4 のアップグレードが引き続いてやってきた。目玉は，マスクをつけたままのFace ID認証と，Mac-iPad間のユニバーサルコントロールだ。前者は使わないし，後者は試してみたののの，サイドカーの場合と同様に今ひとつピンとこないのであった。

三次方程式の解（３）

三次方程式の解（２）からの続き

三次方程式 $\ x^3+p x + q=0\ $の解は，$x=y+\frac{p}{3y},\quad  y^3 = t\ $と変数変換すると，$\ t\ $の二次方程式$\ t^2+q t -\frac{p^3}{27}=0\ $の解から逆にたどって求めることができた。このとき，$x^3=1\ $の解，$\{1,\ \omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, \omega^2=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2} \}$ を活用した。

上記の2次方程式が2つの実数解を持つ場合の求解手順を前回示したので，ここでは2つの複素数解$\ t_1=-\frac{q}{2} + \sqrt{q^2/4 + p^3/27}, \ t_2=-\frac{q}{2} - \sqrt{q^2/4 + p^3/27} \ $の場合（根号の中身が負の場合）を考えてみる。

(2) $\ t_1,\ t_2\ $が複素数の場合：

この場合，$\alpha=t_1^{1/3}, \ \beta=t_2^{1/3}\ $は複素数となる。前回と同様に，$ \alpha^3 \beta^3 = t_1 t_2 =  -\frac{p^3}{27}$であるが，$\alpha, \beta$が複素数であることから，$\alpha \beta = -\frac{p}{3},\ \alpha \beta \omega = -\frac{p}{3},\ \alpha \beta \omega^2 = -\frac{p}{3}\ $のいずれかが成立する。

6次方程式の解が，$y_1 = \{ \alpha,\ \alpha \omega,\ \alpha \omega^2 \},\quad  y_2 = \{ \beta,\ \beta \omega,\ \beta \omega^2 \} \ $であり，三次方程式の解が$\ x=y -\frac{p}{3 y}\ $によって得られることは前回と同じだ。そこで，複素数（実数を含む）である$\ \beta$を含む解が，複素数（実数を含む）である$\ \alpha$を含む解に帰着することが示せればよいことになる。

$\alpha \beta$の積に対する3つの条件のうち，最初のものは実数の場合と同じなので，前回の議論をそのままつかうことができる。残りの2つの条件を当てはめると次のようになる。

$\{ \beta,\ \beta \omega,\ \beta \omega^2 \} /.  \beta \rightarrow -\frac{p}{3 \alpha \omega}  =  \{\ \alpha \omega  - \frac{p}{3 \alpha \omega},\ \alpha -\frac{p}{3 \alpha},\ \alpha \omega^2 - \frac{p}{3 \alpha \omega^2}\}$，

また，$\{ \beta,\ \beta \omega,\ \beta \omega^2 \}/. \beta \rightarrow -\frac{p}{3 \alpha \omega^2}  = \{ \alpha \omega^2 - \frac{p}{3 \alpha \omega^2},\ \alpha \omega - \frac{p}{3 \alpha \omega} ,\ \alpha -\frac{p}{3 \alpha }\}$

なお，条件の代入にはMathematicaのルール ［元の表式/. 変数→変換式]を用いた。こうして，一組の6次方程式の解$ \ y_1=\{ \alpha,\ \alpha \omega,\ \alpha \omega^2 \} $ から3次方程式の一組の解 $\ x= y_1- \frac{p}{3 y_1}\ $が得られる。

三次方程式の解（２）

 三次方程式の解（１）からの続き

大学入試問題で扱われるような三次方程式$\ x^3 + p x + q =0\ $の解についての別のアプローチがあった。まず，$\ x=y+\frac{a}{y}\ $とおいて， $ y $の6次方程式に変換すると，$\ y^3+3a (y+\frac{a}{y}) +\frac{a^3}{y^3} + p (y+\frac{a}{y}) + q = 0\ $が得られる。これが$\ t=y^3\ $の2次方程式になるように，$\ 3a+p=0\ $という条件をつければ，$ a=-\frac{0}{3} $となる。このとき，$\ t^2 + q t -\frac{p^3}{27}=0\ $が成り立つ。

この2次方程式の解は，$\ t_1=-\frac{q}{2} + \sqrt{q^2/4 + p^3/27}, \ t_2=-\frac{q}{2} - \sqrt{q^2/4 + p^3/27} \ $となる。また，6次方程式の解は，$y_1^3=t_1, \ y_2^3=t_2$を満足している。ここで，$x^3=1$の解を，$ \{ 1, \ \omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, \ \omega^2=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2} \} $とする。

(1) $\ t_1,\ t_2$が実数の場合：

$\alpha=t_1^{1/3},\ \beta=t_2^{1/3}$を実数とすると，$y_1 = \{ \alpha,\ \alpha \omega,\ \alpha \omega^2 \},\quad  y_2 = \{ \beta,\ \beta \omega,\ \beta \omega^2 \}\ $となる。この6つの解からそれぞれ，$\ x=y -\frac{p}{3 y}\ $によって，もとの三次方程式の解がえられるので，解の組が過剰に存在するようにみえるが，$y_2$のセットは，$y_1$のセットと同じになることが確かめられる。

$ \alpha^3 \beta^3 = t_1 t_2 =  -\frac{p^3}{27}$で，$\alpha, \beta$がともに実数であることから，$\alpha \beta = -\frac{p}{3}$である。

これから，$x_2 = y_2 - \frac{p}{3 y_2} = \{ \beta-\frac{p}{3\beta},\ \beta \omega - \frac{p}{3 \beta \omega},\ \beta \omega^2 - \frac{p}{3 \beta \omega^2} \} $

$ = \{ -\frac{p}{3\alpha} + \alpha,\ -\frac{p}{3 \alpha \omega}+ \alpha \omega ,\ - \frac{p}{3 \alpha  \omega^2} +\alpha \omega^2  \} =  y_1 - \frac{p}{3 y_1} = x_1$

つまり，$\beta $からくる解はすべて$\alpha$からくる解の三つ組に帰着する。

三次方程式の解（３）に続く。