abc予想（４）

 abc予想（３）からの続き

abc予想が正しければ，ただちにフェルマーの定理が簡単に証明されるとのことだが，事情は若干ややこしい。正確には，abc予想の(2)の表現において$\varepsilon = 1 $として，このときに，$K(\varepsilon)=1$が満たされればという条件がついてくる。ウェブ上ではこれを強いabc予想と書いているものもあるが，その表現がよいのかどうかはあまりはっきりしない。

(強いabc予想？)　$c < K(\varepsilon=1)  {\rm rad}(abc)^{1+(\varepsilon=1)} = 1 \cdot {\rm rad}(abc)^2 $ 

これからフェルマーの定理を導くのは次のようになる。

自然数$a,\ b,\ c\ $が互いに素であり，自然数$n > 6\ $に対して，$a^n,\ b^n,\ c^n\ $が abcトリプレットをなすとする。すなわち，$a^n + b^n = c^n\ $であって，$a^n < b^n$かつ$a^n,\ b^n\ $は互いに素。このとき，$c^n < {\rm rad}(a^n b^n c^n)^2 = {\rm rad}(a b c)^2 < (a b c)^2 < c^6\ $が成り立つ。

つまり，$n \ge 6\ $に対して，$a^n + b^n = c^n\ $は偽であることから，フェルマーの定理が $n \ge 6\ $に対して成り立つ。$n= 3, 4, 5\ $については別途成り立つことを示す必要があるが，これらはすでに証明されている。

これを少し詳しく見た様子は，黒川信重・小山信也による「ABC予想入門」に記述されている。