　　　　On a Thread of the Web: チェレンコフ放射（１）

2023年11月19日日曜日

チェレンコフ放射（１）

チェレンコフ放射は知っている。

屈折率が，

$n=\sqrt{\varepsilon_r \mu_r} > 1\$ である媒質中の光速度は，

$c' = c/n$ と真空中より遅くなる。ここで，

$\varepsilon_r, \mu_r\$ は無次元の比誘電率と比透磁率である。この媒質中を進む荷電粒子が媒質中の光速度を超える場合，波面の作る包絡線に垂直な方向に生ずるのがチェレンコフ光である。典型的な例は水に浸かった原子炉中の核燃料が出す放射線から生ずる青白い光である。

ところで，荷電粒子が電磁波を放出するのはそれが加速度運動している場合である。上記の放射線（高エネルギーのベータ線）は媒質の水の中を等速度で運動している。

砂川さんの理論電磁気学によれば，点電荷の座標を

$\bm{r}(t_0')$ ，観測点の座標を

$\bm{x}$ ，粒子の位置から観測点に向かう単位ベクトルを

$\bm{n}(t_0')=\dfrac{\bm{x}-\bm{r}(t_0')}{|\bm{x}-\bm{r}(t_0')|} = \dfrac{\bm{x}-\bm{r}(t_0')}{R(t_0')}$ とする。

さらに次の量

$\ \bm{\beta}(t_0') = \bm{\dot{r}}(t_0')/c\$ と

$\ \alpha(t_0')=1-\bm{n}(t_0')\cdot \bm{\beta}(t_0')\$ を定義した。

ただし，

$t_0'\$ は

$\ t_0'=t -|\bm{x}-\bm{r}(t_0')|/c \$ の解であり，

$t_0'$ のなかに

$\bm{x}$ が含まれる。

スカラーポテンシャル

$\phi(\bm{x},t)$ とベクトルポテンシャル

$\bm{A}(\bm{x},t)$ は，次式で与えられる。

$\phi(\bm{x},t)=\dfrac{e}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{\alpha(t_0') R(t_0')}$

$\bm{A}(\bm{x},t)=\dfrac{\mu_0 e}{4\pi}\dfrac{\bm{\dot{r}}(t_0')}{\alpha(t_0') R(t_0')}$

また，電場

$\bm{E}(\bm{x},t)$ と磁場

$\bm{B}(\bm{x},t)=\dfrac{1}{c}\bm{n}(t_0')\times \bm{E}(\bm{x},t))$ は，

$\bm{E}(\bm{x},t)= \dfrac{e}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl[ \dfrac{(\bm{n}-\bm{\beta})(1-\bm{\beta}^2)}{\alpha^3 R^2}+\dfrac{(\bm{n}-\bm{\beta}) (\bm{n}\cdot \bm{\dot{\beta}}) - \alpha \bm{\dot{\beta}} \} }{c\alpha^3 R} \Biggl]_{t_0'}$

$\bm{B}(\bm{x},t)= \dfrac{\mu_0 e}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl[ \dfrac{(\bm{\beta}\times \bm{n})(1-\bm{\beta}^2)}{\alpha^3 R^2}+\dfrac{ (\bm{\beta}\times \bm{n})(\bm{n}\cdot \bm{\dot{\beta}}) + \alpha \bm{\dot{\beta}} \times \bm{n} \} }{c\alpha^3 R} \Biggl]_{t_0'}$

加速運動する荷電粒子から生ずる電磁波は

$\bm{\dot{\beta}}$ の項からくる。これを含まない項は，遠方で

$R^{-2}$ で減衰するのでエネルギーの放射には関係しない。一方，媒質中で光速を超える場合は，

$\bm{\dot{\beta}}=0$ ではあるが，同時に

$\alpha=0$ になる可能性がある。そこでこの項が消えずに残るというのが，ものの資料[1]の説明だったが，イマイチよくわからない。フーリエスペクトル以降の計算を追えていない。

結局，チェレンコフ放射についても自分はよくわかっていなかった。まあそんなものだ。