鏡像法（７）

鏡像法（６）からの続き

昔お世話になった共立出版の詳解電磁気学演習（後藤憲一，山崎修一郎）では，第４章　静電界Ⅵ：静電界の特殊解法　§１．電気映像として，25ページに渡ってこれでもかというほど鏡像法の演習問題がとりあげられている。しかし，非常に技巧的で工学的な応用問題に見えてほとんど無視してきた。

この度，少しだけ復習してみて，なかなか奥深いものがあった。基本要素として，単純な導体境界面である平面，円筒面，球面をとり，電荷源として点電荷と直線電荷を組み合わせると六通りの可能性がある。そのうち4つは典型的な例題として教科書にも演習書にもよく取り上げられているが，円筒面×点電荷，球面×直線電荷はあまり見たことがないし，少し考えてみたけれど簡単に解けそうではなかった。

図：電荷源と対称な導体面の例

直線電荷と球面の場合は，直線電荷を点電荷の集まりとすれば，球の中心Oに最も近い直線電荷上の点Aに対する球内の鏡像点Bを考え，直線電荷と球の中心を含む平面において，OBを直径とする円が鏡像点の集合になる。ただし，円上の線電荷密度はこの円内で変化するとすれば，一応辻褄が合いそうだけれど，どうなのだろう。

点電荷と円筒面の場合は，そもそも鏡像電荷を幾何学的な対称として特定できるのかどうかもはっきりしない。下手に直線電荷を導入すると自然対数の静電ポテンシャルがでてきて，点電荷の静電ポテンシャルとは極めて相性が悪そうなのだ。現実問題としては導体直線とこれから離れた点に一定の電荷がある場合は考えられなくはないので，ちゃんと探せば答えがあるのかもしれない。

そんなわけで，いろいろ格闘した結果，導体面は等電位面であり，電場は導体面に垂直な方向を向いているが，その大きさは導体面上で一定ではなく，導体面の電荷密度に比例した大きさを持つことを再確認することになった。