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2024年2月2日金曜日

確率変数の積

将来必要になりそうな,確率変数の積の確率分布関数を求める。

2つの確率変数XYが確率密度分布関数p(x), q(y)に対応している。このとき,確率変数Z=XYはどのような確率分布をするか,再び,緑川章一さんのノートで勉強する。

確率変数 Z=XYの確率分布関数を r(z)とすると,r(z)=1010p(x)q(y)δ(zxy) dx dy=101|y|p(z/y)q(y) dyとなる。ここでデルタ関数の性質,δ(ax)=δ(x)/|a|を用いた。この z の範囲は,0<z< である

(1)XYが,それぞれ一様分布p(x)=1 (0x1)q(y)=1 (0y1)を満足している場合。ここで,0<z/y<1 より,z<y<1である。したがって,

r(z)=1z1y11 dy=logz

(2)XYが,それぞれ三角分布p(x)=2x (0x1)q(y)=2y (0y1)をしている場合(単位円内の点の一様分布の動径変数)。

r(z)=1z1y2zy(2y) dy=1z4zy dy=4zlogz

うーん,あんまりうれしくないかもしれない。後々logの計算が残るので。

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