将来必要になりそうな,確率変数の積の確率分布関数を求める。
2つの確率変数
Xと
Yが確率密度分布関数
p(x), q(y)に対応している。このとき,確率変数
Z=X∗Yはどのような確率分布をするか,再び,
緑川章一さんのノートで勉強する。
確率変数 Z=X∗Yの確率分布関数を r(z)とすると,r(z)=∫10∫10p(x)q(y)δ(z−x∗y) dx dy=∫101|y|p(z/y)q(y) dyとなる。ここでデルタ関数の性質,δ(ax)=δ(x)/|a|を用いた。この z の範囲は,0<z<∞ である
(1)
Xと
Yが,それぞれ
一様分布,
p(x)=1 (0≤x≤1) ,
q(y)=1 (0≤y≤1)を満足している場合。ここで,
0<z/y<1 より,
z<y<1である。したがって,
r(z)=∫1z1y1∗1 dy=−logz
(2)
Xと
Yが,それぞれ
三角分布,
p(x)=2x (0≤x≤1),
q(y)=2y (0≤y≤1)をしている場合(単位円内の点の一様分布の動径変数)。
r(z)=∫1z1y2zy(2y) dy=∫1z4zy dy=−4zlogz
うーん,あんまりうれしくないかもしれない。後々logの計算が残るので。
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