一様分布と変数変換

確率変数の積からの続き

２つの確率変数の一様分布があったとき，これを変数変換したときの確率分布を考える。

与える分布は，$p(x)=\theta(x) \theta(1-x),\ q(y) = \theta(y) \theta(1-y)\ $とする。したがって，$0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 \ $を満足する。このとき，$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 p(x) q(y)\ dx dy =1$

これは，$\displaystyle \int_0^1 dx \int_0^x dy\ p(x) q(y) + \int_0^1 dx \int_x^1 dy\ p(x) q(y) =1$とも書ける。

（１）$\underline{X = x+y,\ Y = x-y \quad (0 \le X \le 2,\ -1 \le Y \le 1)\ }$の場合

このとき，$x = (X+Y)/2, \ y=(X-Y)/2, \ J(X,Y)=\frac{1}{2}\ $

積分領域は， $-X \le Y \le 2-X$ かつ $X \le Y \le X-2$

$f(X,Y)\ $の期待値は，$\langle f \rangle = \int_0^1 dX \int_{-X}^{X} f(X,Y) J(X,Y) dY + \int_1^2 dX \int_{X-2}^{2-X} f(X,Y) J(X,Y) dY$

(1-1) $\langle 1 \rangle =  \int_0^1 dX \Big\lbrack \frac{Y}{2}\Big\rbrack_{-X}^{X} + \int_1^2 dX \Big\lbrack \frac{Y}{2}\Big\rbrack_{X-2}^{2-X} = \int_0^1 X dX + \int_1^2 (2-X) dX = 1$

(1-2) $\langle |Y| \rangle =  \int_0^1 dX \Big\lbrack \frac{Y^2}{2} \Big\rbrack_0^{X} + \int_1^2 dX \Big\lbrack \frac{Y^2}{2} \Big\rbrack_0^{2-X} = \int_0^1 \frac{X^2}{2}dX +  \int_1^2 \frac{(2-X)^2}{2} dX $

$\quad =  \Big\lbrack \frac{X^3}{6} \Big\rbrack_0^1 +   \Big\lbrack \frac{(X-2)^3}{6} \Big\rbrack_1^2 = \dfrac{1}{3} \ $

（２）$\underline{X = x+y,\ Y = xy \quad (0 \le X \le 2,\ 0 \le Y \le 1)\ }$の場合

このとき，$x = (X \pm \sqrt{X^2-4Y})/2, \ y=(X \mp \sqrt{X^2-4Y} )/2, \ J(X,Y)=\frac{1}{\sqrt{X^2-4Y}}$

積分領域は， $0 \le Y$ かつ $X-1 \le Y \le X^2/4$

$f(X,Y)\ $の期待値は，$x>y$と$y>x$の場合をそれぞれ加えることで，

$\langle f \rangle = 2 \int_0^1 dX \int_0^{X^2/4} f(X,Y) J(X,Y) dY + 2 \int_1^2 dX \int_{X-1}^{X^2/4} f(X,Y) J(X,Y) dY$

(2-1) $\langle 1 \rangle = 2 \int_0^1 dX \int_0^{X^2/4} \frac{1}{\sqrt{X^2-4Y}} dY + 2 \int_1^2 dX \int_{X-1}^{X^2/4}  \frac{1}{\sqrt{X^2-4Y}} dY$

$\quad = 2 \int_0^1 dX \Big\lbrack -\frac{1}{2} \sqrt{X^2-4Y}  \Big\rbrack_0^{X^2/4} + 2 \int_1^2 dX  \Big\lbrack -\frac{1}{2} \sqrt{X^2-4Y} \Big\rbrack_{X-1}^{X^2/4}$

$\quad = \int_0^1 X dX + \int_1^2 (X-1) dX  = 1$

(2-2) $\langle \sqrt{X^2-4Y} \rangle = 2 \int_0^1 dX \int_0^{X^2/4}  dY + 2 \int_1^2 dX \int_{X-1}^{X^2/4}  dY$

$\quad = 2 \int_0^1 dX \Big\lbrack Y \Big\rbrack_0^{X^2/4} + 2 \int_1^2 dX  \Big\lbrack Y \Big\rbrack_{X-1}^{X^2/4}$

$\quad = \int_0^1 \frac{X^2}{2} dX + \int_1^2 (\frac{X^2}{2}-2X + 2) dX  = \Big\lbrack \frac{X^3}{6} \Big\rbrack_0^2 +  \Big\lbrack -X^2 + 2X \Big\rbrack_1^2 = \dfrac{1}{3}$