クローニッヒ・ペニーモデル（４）

クローニッヒ・ペニーモデル（３）からの続き

これまでの結果を用いて，具体的な数値を代入したグラフを作成する。与えられた$k_n$の値に依存して，$-1 \le \cos(k_n a) \le 1$の条件から，1電子のエネルギー$E$がとりうる範囲についての条件が定まる。このとき，電子が取り得るエネルギー領域を許容帯（allowed band），取りえないエネルギー領域を禁制帯（forbidden band）とよぶ。相互作用のない電子の多粒子系では，これらの離散化された許容帯に電子が充填されることになる。

Mathematicaによって，この様子を確認してみれば次のようになる。

a = 2; b = 0.04; hc = 1973; m = 1.022*10^6; p = 2*1.05017;
v = 2*hc^2*p/(1.022*10^6*a*b)
(hc)^2/(m a^2)
200.001
0.952233

\[Alpha][e_] := Sqrt[m*e]*(a - b)/hc;
\[Beta][e_] := Sqrt[m*(v - e)]*b/hc;
\[Gamma][e_] := Sqrt[m*e]*a/hc;
X[e_] := Cos[\[Alpha][e]] Cosh[\[Beta][ e]] + ((\[Beta][e]/b)^2 - (\[Alpha][e]/(a - b))^2)/(2*\[Alpha][ e]/(a - b)*\[Beta][e]/b) Sin[\[Alpha][e]] Sinh[\[Beta][e]]

Plot[{ X[e], 1, (Cos[\[Gamma][e]] + p*Sin[\[Gamma][e]]/\[Gamma][e]), -1, Cos[\[Gamma][e]]}, {e, 0, 200}, PlotRange -> {-1.5, 3.5}, PlotStyle -> {Red, Gray, Blue, Gray, Orange}]
Table[FindRoot[X[e] == 1, {e, (hc a n )^2/(2 m) }], {n, 1, 5}]
{{e -> 2.95059}, {e -> 37.6031}, {e -> 45.1073}, {e -> 150.412}, {e -> 158.267}}
Table[ FindRoot[X[e] == -1, {e, 0.9*(hc a n )^2/(2 m) }], {n, 1, 6}]
{{e -> 9.40077}, {e -> 16.0036}, {e -> 84.6069}, {e -> 92.3771}, {e -> 242.886}, {e -> 242.886 + 0. I}}

d0 = Plot[{10^6 (e - 2.95059), 10^6 (e - 9.40077), 10^6 (e - 16.0036), 10^6 (e - 37.6031), 10^6 (e - 45.1073), 10^6 (e - 84.6069), 10^6 (e - 92.3771), 10^6 (e - 150.421), 10^6 (e - 158.267)}, {e, 0, (4 Pi)^2}, PlotStyle -> Table[{Gray, Dotted}, 9], PlotRange -> {0, 13}];
f0 = Plot[{0, Pi, 2 Pi, 3 Pi, 4 Pi}, {e, 0, (4 Pi)^2}, PlotStyle -> Table[{Green, Dotted}, 5]];
g0 = Plot[\[Gamma][e], {e, 0, (4 Pi)^2}, PlotStyle -> {Orange, Dashed}];
g1 = Plot[ArcCos[X[e]], {e, 0, Pi^2}];
g2 = Plot[2 Pi - ArcCos[X[e]], {e, Pi^2, (2 Pi)^2}];
g3 = Plot[2 Pi + ArcCos[X[e]], {e, (2 Pi)^2, .98 (3 Pi)^2}];
g4 = Plot[4 Pi - ArcCos[X[e]], {e, .98 (3 Pi)^2, .95 (4 Pi)^2}];

Show[{d0, f0, g0, g1, g2, g3, g4}, PlotRange -> {-1, 15}]

図１：境界条件から決まる（energy-cos(ka)）のグラフ

図２：図１から決まる分散関係（energy-ka）のグラフ

ポテンシャルの幅$b$を格子周期$a$の2%に設定したため，$b \rightarrow 0$の近似がよく当てはまる。そこで，$X(pa)$と$\cos \gamma(e) + P \sin \gamma(e)/\gamma(e)\ $の誤差は1%以下となり，グラフ上では区別できなくなっている。

なお，$e=\frac{(\hbar k)^2}{2m}=\frac{(\hbar c)^2}{2mc^2 a^2}\cdot (ka)^2 = 0.952233 (ka)^2\ $であることに注意する。