クローニッヒ・ペニーモデル（２）

クローニッヒ・ペニーモデル（１）からの続き

前回，周期ポテンシャル中で正のエネルギーを持った電子の運動について考えた。自由電子とはいえ，金属中に束縛されているのだからポテンシャルの上端に対して負のエネルギーを持った電子を考えなければならなかった。

上智大学名誉教授の清水清孝さん（元有馬研）が，電子情報通信学会の知識ベース知識の森の12群5編量子力学・電子物理・相対論を執筆していて，そこにバンド理論入門についての話もあった。

そこで，前回のポテンシャルの符号を $-V_0 \rightarrow V_0$としたモデルで$0<E<V_0$の場合を考える。すなわち，ポテンシャルは，つぎの形を繰り返したものになる。
領域 Ⅰ：$V(x) =  \ 0 \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $
領域 Ⅱ：$V(x) = V_0 \ \cdots \ (-b < x < 0)$

自由電子のエネルギーは正だが，ポテンシャルの高さより小さいので，領域Iでは解は平面波，領域IIでは指数関数になる。$p=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, q=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$とおいて一般解は，

領域 Ⅰ：$\psi_{\rm I}(x) = A e^{i p x} + A' e^{-i p x} \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $

領域 Ⅱ：$\psi_{\rm II}(x) =  B e^{q x} + B' e^{- q x} \ \cdots \ (-b < x < 0)\ $

前回のように波動関数とその導関数が，領域Iと領域IIの境界で連続である条件から，

$\psi_{\rm I}(0) = \psi_{\rm II}(0);\ \psi_{\rm I}'(0) = \psi_{\rm II}'(0)$，$\psi_{\rm I}(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}(-b);\ \psi_{\rm I}'(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}'(-b)$

$A+A'=B+B'$
$i p(A-A')=q(B-B')$
$A\ e^{ip(a-b)}+A'e^{-ip(a-b)}=(B\ e^{-qb}+B'e^{qb})e^{ika}$
$i pA\ e^{ip(a-b)}-i pA'e^{-ip(a-b)}=(qB\ e^{-qb}-qB'e^{qb})e^{ika}$

ここで，$\alpha = p(a-b)$，$\beta = q b$と置くと，

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ i p & -i p & -q & q \\ e^{i\alpha} & e^{-i\alpha} & -e^{-\beta}e^{ika} & -e^{\beta}e^{ika} \\ i p e^{i\alpha} & - i p e^{-i\alpha} & -q e^{-\beta}e^{ika} & q e^{\beta}e^{ika} \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} A\\ A' \\ B \\ B' \end{array} \right) = 0 $

4元連立方程式が自明でない解を持つためには，行列式が0であり，列の加減により等価な行列式を求める（3行目から$e^{ika}$を，2列目から$i$を外にくくり出した）。

$i e^{ika} \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & p & 0 & q \\ \cos \alpha \ e^{-ika} & \sin \alpha \  e^{-ika}& -\cosh \beta & - \sinh \beta \\ -p\ \sin \alpha & p\ \cos \alpha & q\ \sinh \beta \ e^{ika} & q\ \cosh \beta \ e^{ika} \end{array} \right|  = 0 $

これから4x4行列式の値$|M|$を計算する。

$|M|=  p\ q\ e^{i k a} \left | \begin{array}{cc} -\cosh \beta  & - \sinh \beta  \\ \sinh \beta & \cosh \beta \end{array} \right | + q \left | \begin{array}{cc}  \sin \alpha e^{-i k a } & - \cosh \beta \\  p \cos \alpha & q \sinh \beta e^{ika} \end{array} \right |$

$\qquad \quad - q\ p\ e^{-i k a}\ \left | \begin{array}{cc} \cos \alpha  &  \sin \alpha \\ - \sin \alpha & \cos \alpha  \end{array} \right | - p \left | \begin{array}{cc} - \sinh \beta  & \cos \alpha e^{-ika} \\ q \cosh \beta e^{ika} & -p \sin \alpha \end{array} \right | $

$\quad = -2 p q \cos ka + q( q \sin \alpha \sinh \beta + p \cos \alpha \cosh \beta ) -p (p \sin \alpha \sinh \beta -q \cos \alpha \cosh \beta )$

$\quad = -2 p q \cos ka +2 p q \cos \alpha \cosh \beta +(q^2-p^2) \sin \beta \sinh \beta = 0$

最終的に得られる関係式は，次のとおりである。

$ \cos ka  = \cos \alpha \cosh \beta -\frac{p^2-q^2}{2 p q} \sin \alpha \sinh \beta$

$\qquad = \cos p(a-b) \cosh qb -\frac{p^2-q^2}{2 p q} \sin p(a-b) \sinh qb$

（付）この式は，$E>V_0$の場合は次のように変形できるので，このまま使うことができる。$q=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar} \rightarrow i \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar} \equiv i\bar{q}\ $として，$\sinh ix = i \sin x,\ \cosh ix = \cos x$を用いると，

$ \cos ka  =  \cos p(a-b) \cos \bar{q}b -\frac{p^2 + \bar{q}^2}{2 p \bar{q}} \sin p(a-b) \sin \bar{q} b\ $となる。これは（１）で得られた式と同等なもの。

図：クローニッヒ・ペニーモデル