　　　　On a Thread of the Web: クローニッヒ・ペニーモデル（１）

2022年5月1日日曜日

クローニッヒ・ペニーモデル（１）

クローニッヒ・ペニーモデルは周期性を持った１次元井戸型ポテンシャルのモデルであり，結晶のバンド構造の定性的な特徴を説明することができる。

図：クローニッヒ・ペニーモデルの設定（Wikipediaより引用）

電子の質量を

$m$ として，1粒子の1次元シュレーディンガー方程式は，

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) +V(x) \psi(x) = E \psi(x)$ である。ポテンシャルは周期性を持ち，

$n$ を整数として

$V(x+n a)=V(x)\$ であり，ブロッホの定理から波動関数は，

$\psi(x) = e^{i k x} \varphi(x)$ かつ

$\varphi(x + n a)=\varphi(x)$ を満たす。

ポテンシャルは，つぎの形を繰り返したものになる。

領域 Ⅰ：

$V(x) = \ 0 \ \cdots \ (0 < x < a-b)\$

領域 Ⅱ：

$V(x) = -V_0 \ \cdots \ (-b < x < 0)$

波動関数の周期性からは，

$\psi(x+a) = e^{i k (x+a)}\varphi(x+a) = e^{i k (x+a)}\varphi(x) = e^{i k a} \psi(x) \$ が成り立つ。その導関数は

$\psi'(x+a) = e^{i k a}\psi '(x)$ となる。なお，

$\psi'(x) = i k e^{i k x}\varphi(x) + e^{i k x}\varphi'(x) = i k \psi(x) + e^{i k x}\varphi'(x)$ である。

自由電子のエネルギーは正であり，ポテンシャルが定数であるため，どちらの領域でも解は平面波になる。

$p=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, q=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}$ として一般解は，

領域 Ⅰ：

$\psi_{\rm I}(x) = A e^{i p x} + A' e^{-i p x} \ \cdots \ (0 < x < a-b)\$

$\qquad \quad = e^{i k x} (A e^{i (p-k) x} + A' e^{-i (p+k) x} )$

領域 Ⅱ：

$\psi_{\rm II}(x) = B e^{i q x} + B' e^{-i q x} \ \cdots \ (-b < x < 0)\$

$\qquad \quad = e^{i k x} (B e^{i (q-k) x} + B' e^{-i (q+k) x})$

波動関数とその導関数が，領域Iと領域IIの境界で連続であるという条件を書く。
$\psi_{\rm I}(0) = \psi_{\rm II}(0);\ \psi_{\rm I}'(0) = \psi_{\rm II}'(0)$ ， $\psi_{\rm I}(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}(-b);\ \psi_{\rm I}'(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}'(-b)$

$A+A'=B+B'$

$p(A-A')=q(B-B')$

$A\ e^{ip(a-b)}+A'e^{-ip(a-b)}=B\ e^{-iqb+ika}+B'e^{iqb+ika}$

$pA\ e^{ip(a-b)}-pA'e^{-ip(a-b)}=qB\ e^{-iqb+ika}-qB'e^{iqb+ika}$

ここで，

$\alpha = p(a-b)$ ，

$\beta = q b$ と置く。

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ p & -p & -q & q \\ e^{i\alpha} & e^{-i\alpha} & -e^{-i\beta}e^{ika} & -e^{i\beta}e^{ika} \\ p e^{i\alpha} & - p e^{-i\alpha} & -q e^{-i\beta}e^{ika} & q e^{i\beta}e^{ika} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} A\\ A' \\ B \\ B' \end{array} \right) = 0$

波動関数の係数に対するこの4元連立方程式が自明でない解を持つためには，行列式が0でなければならない。この条件をつかって，2列と1列の和と差，4列と3列の和と差から等価な行列式を求めれば，次のようになる（3行目から

$e^{ika}$ を外にくくり出した）。

$e^{ika} \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & p & 0 & q \\ \cos \alpha \ e^{-ika} & i \sin \alpha \ e^{-ika}& -\cos \beta & -i \sin \beta \\ i p\ \sin \alpha & p\ \cos \alpha & i q\ \sin \beta \ e^{ika} & q\ \cos \beta \ e^{ika} \end{array} \right| = 0$

これから4x4行列式の値

$|M|$ を計算する。

$|M|= p\ q\ e^{i k a} \left | \begin{array}{cc} -\cos \beta & - i \sin \beta \\ i \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right | + q \left | \begin{array}{cc} i \sin \alpha e^{-i k a } & - \cos \beta \\ p \cos \alpha & i q \sin \beta e^{ika} \end{array} \right |$

$\qquad \quad - q\ p\ e^{-i k a}\ \left | \begin{array}{cc} \cos \alpha & i \sin \alpha \\ i \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right | - p \left | \begin{array}{cc} -i \sin \beta & \cos \alpha e^{-ika} \\ q \cos \beta e^{ika} & i p \sin \alpha \end{array} \right |$