スターリンク

 Twitterに流れきた GIFアニメーションが人工衛星コンステレーション（星座）を表わしているという。何これ，イリジウムではなかったの，と調べてみると自分の知識が古いまま更新されていなかった。

イリジウムは，高度680kmの軌道に77個の衛星を投入して構成する衛星電話のシステムで（その後66個に），原子番号=電子数77個の元素イリジウムにちなんで命名された。1998年にサービスが開始しているが，2000年にはサービスが終っている。短命だったのだ。

2009年には，イリジウム衛星の一つがロシアの軍事通信衛星と衝突してスペースデブリをまき散らした。2015年には66個の衛星をすべて更新する計画であるイリジウムNEXTがスタートして，現在進行中らしい。

問題のGIFアニメーションの方は，イーロン・マスクのスペースＸが運用している衛星インターネットサービスのスターリンクだった。2020年に運用が開始しているが，高度650kmに1600基，高度1150kmに2800基，高度340kmに7500基を順次打ち上げ，総数12000基の人工衛星を2020年代中期までに展開する。日本でのサービスは2022年から提供される予定だ。

先週，5月24日が最初の打ち上げから3年目に当たり，49回の打ち上げで2651機が投入され246機が落下している。問題はスペースデブリと光害だ。彗星の長時間露光写真にたくさんの衛星の航跡が重なって写った画像があったけれどどうなのだろうか。

図：スターリンクのイメージ（agenaさんのtwitter記事から引用）

（注）元素イリジウム（iridium）の語源は，イリス（iris）だった。エリジウム（elysium）とは関係なかった。

友ヶ島

コロナ禍で中断していたファミリーツアーが再開したので，久々の旅行で紀州へ向かった。

目的地の一つが紀淡海峡にあり，和歌山と淡路島の間に位置する友ヶ島だ。明治22年（1889年）に大阪湾を防御するために，由良要塞の建設が始まった。日清戦争が明治27年（1894年），日露戦争が明治37年（1904年），その時代のことだ。

由良要塞は，淡路島の由良地区，友ヶ島地区（沖ノ島＋虎島），紀伊半島の加太・深山地区から成り立ち，その後，四国の鳴門地区も編入された。このうちの，深山砲台群と友ヶ島砲台群を訪れた。友ヶ島はラピュタのイメージ島として宣伝されているが，現地ではそんな宣伝臭はあまりない。林の中の廃虚となったレンガ造の雰囲気や，砲台跡の地下の弾薬庫跡の暗闇などなかなかおもしろかった。

友ヶ島へは，加太港から友ヶ島汽船の定期便が一日4往復の運行をしている。2隻の船（ともがしま号・友ヶ島V号）が片道20分ほどで加太と友ヶ島を行き来する。連休や土日はかなりの賑わいが戻ってきており，時間通りに乗船場にいくと2時間待ちなどざららしい。事前の予約システムはなく，現地の窓口でおばちゃんから物理的な整理券をもらって，並んだ順に切符が購入できる仕組みだ。

ところが，乗客が増えると時刻表はほとんど関係なくて，始発前に臨時便は出るは，臨機応変にピストン輸送モードに切り替わるは，そのアバウトさが大変素晴らしい。もちろん，紀伊水道の内側の大阪湾内とはいえ安全面の配慮は十分だと思われる。

近ごろは，なんでもかんでもネットでの予約システムを使うことになっている。人間の判断の余地を極限まで少なくして，機械に最適化を頼りながらフレキシビリティを追求するというのが流行りなのだ。自動車のナビや自動運転もその延長線上にある。しかし，友ヶ島汽船の古典的なおばちゃん力と船長の力強い柁捌きには一日の長があるように見えた。

写真：友ヶ島Ｖ号 定員48人（撮影 2022.5.29）

RICTYフォント

東北大学の清野舜さんによる「試行回数の増やし方2021年度版」というスライドをみていた。

成功回数 ＝ 試行回数 ×  成功率の公式から，成功率なんてあがらないので，成功するには試行回数を増やせ。試行回数を増やすためには，1回の試行時間を如何に短縮するかということで，プログラム開発における重要な考え方やツールの実践的な紹介をしている。こんなアドバイスを身近にしながら研究できる大学院生がうらやましい。

そこで，プログラミング用のフォントの話を見つけた。1（イチ）とl（エル）とI（アイ）や，Ｏ（オー）とo（オー）と０（ゼロ）など区別が困難なフォントがある。それを避けるべくデザインされたのが RICTY フォントだ。等幅フォントであり，半角と全角の幅が1:2になっている。

Macでのインストールは，古い資料ではうまくいかなかったが，新しいものでは次のようにして簡単に導入できた。

$ brew tap sanemat/font

$ brew install ricty

$ cp -f /opt/homebrew/opt/ricty/share/fonts/Ricty*.ttf ~/Library/Fonts/

$ fc-cache -vf

結果は次のようになっている。

図：RICTYフォントの見本

個人送信（２）

個人送信（１）からの続き

5月19日から開始された国立国会図書館デジタルコレクションの「個人向けデジタル資料送信サービス（略称：個人送信）」について，申し込みシステムの不備についてさんだんディスっていたが，5月23日に申請受理の連絡メールが届き，無事に使えるようになった。

国立国会図書館が所蔵している資料数は4560万点，そのうちデジタル化されたものが279万点，これまでデジタルコレクションで公開されていたものが56万点，個人送信開始によってこれに153万点が新たに加わり209万点となる。特に，雑誌が2万点から84万点だ。なお，博士論文は13万点，図書が56万点。

「本好きが激推し！無料で読める「国立国会図書館」のお宝本」というダイヤモンドオンラインの記事があり，次のようなものが紹介されている。

中央公論社の『世界の名著』シリーズ（1966年～）。『玉川児童百科大辞典』（誠文堂新光社，1967），講談社の『スクール図解百科事典』（1966）。『大辞典（縮刷版）』（平凡社、1953年～1954年）。『川柳大辞典』（日文社、1955年）。『現代短歌分類辞典』（イソラベラ社、1954～）。『寛政重修諸家譜』。全国の市町村史。

さっそく，個人登録番号でログインして「世界の名著」で図書館・個人送信に限定して検索してみた。164件の図書がヒットする。ポプラ社の児童向け「世界の名著」，偕成社の「少年少女世界の名著」，講談社の「少年少女世界の名著」に続いて，中央公論社の「世界の名著」がでてきた。ボンヤリしているとログアウトされて，著作権処理中となって読めないモードに切り替わっているので注意が必要だ。

写真：国立国会図書館のデジタル化作戦の最先端風景（NDLより引用）

［１］元司書が語る！ 国立国会図書館の絶版本「読み放題解禁」がスゴい（読書猿・書物蔵）

［２］単なる「雑学好き」で終わる人と、本当の教養を手に入れる人の差（読書猿・書物蔵）

三角関数（４）

三角関数（３）からの続き

東京大学の浜口幸一さんが2022年の夏学期に担当している「基礎方程式とその意味を考える」の中間試験問題が公開されている。

あなたが長い眠りから目を覚ますと、そこは 20xx 年の某国。そこでは、「三角関数は不要だ」と考える権力者によって全ての教科書から三角関数の記述が消されてしまっていた。これは大変だ。しかし幸いなことに、指数関数や複素数に関する記述は残っていた。そこであなたは「基礎方程式とその意味を考える」の講義で出てきた複素指数関数を用いて三角関数を定義し、そこから三角関数の性質を導くことにした*1 。

という設定で，三角関数の加法定理や周期性を導くものとなっている。 その参考文献として，立川裕二さんの2012年の物理数学IIの問題の以下の設定と，

問題：あなたは物理数学のテストの日になって目が覚めてみると空間が 1 次元増えて 4 次元になっていることを発見した！これでは三次元空間における球面調和関数だけでは物理を理解することはできない、四次元における球面調和関数を決定しないといけない。しかし物理数学 II の講義で習った内容は四次元の球面調和関数を決定するのに十分だ。そこで、以下の順序にしたがって、四 次元の球面調和関数について考えよう。

もうひとつ，グレブナー基底大好き bot さんのカクヨム小説「三角関数禁止法」があげられていた。三角関数禁止の世界が洒落にならないのがこわい。まあこの国では，禁止しなくてもみんな忖度で自分から身を捧げるので，だまっていてもどのマスコミも敵性語の三角関数を使わなくなるのかもしれない。キエフも敵性語ということでしたから。

三角関数（３）

三角関数（２）からの続き

三角関数の話題から，学習指導要領について調べていると，次の記事が目に入った。

最新の「学習指導要領」が，「絵に描いたモチ」になってしまっている以外な理由（現代ビジネス，2022/5/20 8:02 Yahoo! Japan News）。元文部官僚の前川喜平と法政大学教授の児美川孝一郎が，最近の教育政策について語り合った『日本の教育、どうしてこうなった？』（大月書店 2022）からの抜粋らしい。

平成30年3月告示（2018年）の現行学習指導要領が，教育内容ではなく「育てたい資質・能力」ベースで編成され，「社会に開かれた教育課程」や「学びの地図」といった目標設定がなされ，「主体的・対話的で深い学び」（アクティブ・ラーニング）や「カリキュラム・マネジメント」の導入など，話題が満載な改訂である理由について尋ねられて次のように述べている。

児美川：すべての教科・科目にそれぞれの「見方・考え方」が書き込まれ，かつ各教科・科目の内容もすべて「資質・能力」の3つの柱に沿って記述された。いわば、各教科・科目が縦軸、見方・考え方と3つの資質・能力が横軸となったマトリクス上にすべてが配置されました。芸術系の科目だろうが、体育だろうが例外はありません。その限りでは、形式的な論理性は究極まで貫かれています。ちょっと気持ち悪いくらいです(笑)。

前川：いかにもきれいに整理されているように見えるんだけど、そんなふうに整理しきれるものじゃないと思うんですけどね。書き込みすぎ，考え込みすぎ。要するに，やりすぎ。

仕事柄，学習指導要領は，過去からの時系列を比較しながら読むことが多かったが，現行指導要領の印象はまさにその通りなのである。最初に見たときに自分の感じた違和感は，ルーブリック評価のテーブルをみるときの気持ち悪さと一緒であり，無理矢理に拵えられて過剰に書き込まれた論理的整合性なのだ。

前回の平成20年告示（2008年）の学習指導要領は，平成10年告示（1998年）版が，ゆとり教育路線による過剰な精選によって大きな批判を浴びたのをうけて，内容充実に柁を切ったものだった。それが，平成30年告示（2018年）では，教育方法にまで手を突っ込んで，箸の上げ下ろしのような細部まで拘束しかねない学習指導要領を追求している。

前川：まあ、両方とも合田君がやったからいけないんですよ（笑）。2008年・09年の改訂のときに合田君は，初等・中等教育局の教育課程課の教育課程企画室長だった。改訂の事務方の中心的な役割を担っていたんです。

　今回の改訂も合田色が強い。合田君が教育課程課長になったので。私が初等中等教育局長だったのが2013年～14年でしたが、合田君を課長にするつもりはなかったです。合田君がやったものを見なおすことのできる人間がやらないとダメだと思っていましたから。

　ところが私の後任になった小松親次郎君は，合田君がいいと思ったんでしょうね。合田君は合田君で，前回やり残したことがあったんですね。こういう文科省で誰が担当しているかということは，けっこう影響するんですよ。

前川：戦前の陸軍の関東軍は暴走しちゃったわけじゃないですか。ああいう強硬な中堅将校がいると，全体が引きずられちゃうことがあるわけですね。合田君はOECDの考え方の影響を強く受けているし，経済産業省が教育に乗り込んでくる動きにも乗っかっちゃったわけですね。

合田哲雄，現在は内閣府の科学技術・イノベーション推進事務局審議官である。2012-2015年の前後，自分が文部科学省によく通っていた時期には，この合田哲雄や小松親次郎の顔も拝んでいる。合田哲雄の評判は，当時の長尾学長らも口にしていたが，よくできるということだった（注）。

やり過ぎ感満載の学習指導要領を貫く精神は，大学教育にも大きな影を落としている。その結果，教育内容ではなく，アクティブラーニングをはじめとする教育方法と，抽象的な資質能力観が構成する３ポリシーでがんじがらめにされた，気持ち悪いカリキュラムを作るはめに陥ったのだった。まあ，文科省路線に迎合しようと努力していた自分も悪いのだが。

経営的にも組織的にも精神的にも自立できない日本の国立大学が共通に辿っている道だ。

［１］OECDの考え方：OECD Future of Education & Skills 2030

（注）「文部科学省には，大合田と小合田の二人がいてなんとか・・・」ということだったが，もうひとりの合田とは，もと高等教育局大学課長，生涯学習政策局長の合田隆文のようだ。

三角関数（２）

 三角関数（１）からの続き

前回の復習：金融教育を推奨している藤巻は，三角関数は高校で全員が学ぶ必要がなく，大学に入ってから学べば十分である個別的な専門知識だと主張している。しかし，そもそもの文部科学省の答弁で，三角関数は必履修科目の範囲にはなく（全員が学んでいない），金融教育が必履修科目「公共」の範囲だった（全員が学ぶことになっている）。

表：高等学校学習指導要領から

高等学校の学習指導要領をみると，各学科に共通する部分は表のようになっていた。図の黄色の科目が必履修科目であり，緑の科目は選択的な必履修科目だ。それ以外が選択科目となり，各高等学校がその特性に応じて決めている。

三角関数は，数学Ⅱと数学Ⅲに登場するだけでなく，物理基礎と物理の各分野でも必須の基礎知識なので，日本維新の会が政権に加わって，藤巻のいう方向で文部科学省が動けば，たちどころに日本の理工系教育が崩壊する。

一方，金融教育について必履修科目「公共」の学習指導要領解説編に何が書いてあるかを見れば，森田審議官の答弁で問題が解決したとも言い切れない。

公共

Ｂ　自立した主体としてよりよい社会の形成に参画する私たち

（ウ）職業選択，雇用と労働問題，財政及び租税の役割，少子高齢社会における社会保障の充実・安定化，市場経済の機能と限界，金融の働き，経済のグローバル化と相互依存関係の深まり（国際 社会における貧困や格差の問題を含む。）などに関わる現実社会の事柄や課題を基に，公正かつ自由な経済活動を行うことを通して資源の効率的な配分が図られること，市場経済システムを機能させたり国民福祉の向上に寄与したりする役割を政府などが担っていること及びより活発な経済活動と個人の尊重を共に成り立たせることが必要であることについて理解すること。

【解説編】

金融の働きについては，現代の経済社会における金融の意義や役割を理解できるようにするとともに，金融市場の仕組みと金利の働き，銀行，証券会社，保険会社など 各種金融機関の役割，中央銀行の役割や金融政策の目的と手段について理解できるようにする。

なお，「金融とは経済主体間の資金の融通であることの理解を基に，金融を通した経済活動の活性化についても触れること」（内容の取扱い）が必要であり，金融は，家計や企業からの資金を様々な経済主体に投資することで資本を増加させ，生産性を高め，社会を豊かに発展させる役割を担っていることを理解できるようにする。また，近年の金融制度改革の動向や金融政策の変化などを理解できるようにするとともに，フィンテックと呼ばれる IoT，ビッグデータ，人工知能といった技術を使った革新的な金融サービスを提供する動き，クレジットカードや電子マネーなどの利用によるキャッシュレス社会の進行，仮想通貨など多様な支払・決済手段の普及，様々な金融商品を活用した資産運用にともなうリスクとリターンなどについて，身近で具体的な事例を通して理解できるようにすることも大切である。

たぶん，藤巻の主張の中で，すべての生徒にとって必要だという部分はここにはない。実は，同じ必履修科目の家庭総合（ただし家庭基礎と選択の可能性あり）の解説編に該当部分の記載がある。

家庭総合

Ｃ　持続可能な消費生活・環境

（１）生活における経済の計画

ア（イ）生涯を見通した生活における経済の管理や計画，リスク管理の考え方について理解 を深め，情報の収集・整理が適切にできること。

【解説編】

生涯を見通した生活における経済の管理や計画，リスク管理の考え方については，人生を通して必要となる費用はライフステージごとに異なることについて理解して生涯収支に関心をもつようにするとともに，将来の予測が困難な時代におけるリスク管理の考え方について理解できるようにする。また，生涯を見通した経済計画を立てるには，教育資金，住宅取得，老後の備えの他にも，事故や病気，失業などのリスクへの対応策も必要であることについて理解し，預貯金，民間保険，株式，債券，投資信託等の基本的な金融商品の特徴（メリット，デメリット），資産形成の視点にも触れながら，生涯を見通した経済計画の重要性について理解できるようにする。

結局，藤巻の主張する金融教育というのは，金融リテラシーに相当するものを意味しており，それはすでに日本政府が率先して旗振りをしているのであった。

P. S. 「公共」の学習指導要領をこの度はじめて読んでみたが，その書きっぷりが他の教科とあまりに違いすぎて気になった。もう少し表現を吟味・整理して書くことができなかったのだろうか。

三角関数（１）

 先週，5月17日の衆議院財政金融委員会で，日本維新の会の藤巻健太（1983-）が質問している（藤巻健太の同学年が，今井絵理子，音喜多駿，丸山穂高なのだ・・・orz）。

金融教育がこれからの日本において重要であるという文脈で，自分が高校の時に受験で点を稼ぐために数学とくにサイン・コサインを朝から晩まで勉強したが，受験の翌日から20年使っていないという。また，サイン・コサインは測量，航空機の姿勢制御，星の距離を測るなどの特殊な分野だけに必要な専門知識であるとした。「知識として多くの人にとって三角関数より金融経済に関する知識のほうが重要で優先度が高いのでは」と文部科学省に尋ねた。

文部科学省の森田正信官房審議官は，大学入試や学習指導要領についての原則を無難に回答したが，藤巻健太が最後に，あなたは三角関数と金融経済のどちらが優先されるべきと考えるかを尋ねた。森田審議官の回答は，金融経済は，高等学校の公民科の必履修科目である「公共」に含まれる内容であるが，三角関数は，高等学校の数学科の必履修科目である「数学Ⅰ」には含まれていない（選択科目の数学Ⅱや数学Ⅲにある），とういものだった。

これで完全に論破されて議論終了のはずなのだが，藤巻がTwitterでこれを蒸し返したものだから，一週間にわたって騒動がつづいている。まあ，日本維新の会のお得意の，支持層受けをねらった学問芸術分野攻撃による炎上商法なのであろう。

炎上を招いた藤巻のTwitterでの主な発言はなかなか含蓄が深いので下記に引用する。

私の言う金融経済とはいわゆる金融リテラシーのことです。株や為替や国債とは？から始まり、保険・年金・投資信託・デリバティブとは？住宅ローンの変動・固定金利どう違うのか？多くの人にとって、人生を生きる上でそういった知識の方が、三角関数よりも必要だと考えます。

小学校の算数、中学数学はその概念・考え方を学ぶ上でとても重要だと思います。しかし高校数学は専門知識の側面が強いのではないでしょうか？三角関数などは、その道に進む人が大学で学べばいいと考えます。 

 車の安全な運転の仕方を知ることは大事だが、車の構造は知らなくていい。電子レンジの操作方法は知る必要があるが、電子レンジの仕組みは知らなくていい。三角関数が多くの技術に応用されているのはわかるが、必ずしも知っている必要はない。

三角関数は例えば木の高さを測るのに使われる。1人が木の高さを測ればいい。残りの99人は、木の高ささえ知っていればいい。99人にとっては、安全のために木を切る必要があるのか、どう切るのか、あるいはどうやって木を紙に変えるのか、その紙をどう流通・管理・販売していくかの方が遥かに大事だ。 

 世の中は分業し、お互いの知識を信用し合い、成り立っている。木の高さを測る人、木を切る人、木の安全を管理する人、木の役割を研究する人、木から紙を作る人、その紙を流通させる人、販売する人、それぞれに専門知識がある。三角関数はその専門知識の一つ。全ての専門知識を学ぶ時間はない。

三角関数が科学や工学のあらゆる分野において果たしている役割とその重要性についての決定的な理解の欠如があることは間違いない。それにしても我々は学校教育で何を学ぶべきかという重要な問いを含んでいることも確かだ。

２次元ルービック

Twitterで@jagarikinさんが，ルービックキューブの２次元表現のアニメーションに成功していた。さっそくこれををTikzで描いてみた。

図：２次元ルービックの概念図

(1) 3重の円を3個配置する。2つの円のひとかたまりの交点群は，9個の色つきマークの1組として表わされる。こうしてできた6つの組がルービックキューブの6面に対応し，各マークはルービックキューブのピースに該当する。ルービックキューブの回転操作はこの円に沿って，マークを組単位で回転移動することに相当する。

(2) 色つきマークの組の中心マークが6個あり，これがルービックキューブの6個のセンターピースに対応する。これらは相対的な配置が固定された不動点になるので，これを通る破線の円は動かす必要がない。外側の円と内側の円に沿っての回転だけを考えればよい。

(3) 実線でつながる3個のマークが8組あり，これが8個のコーナーピースに対応する。破線でつながる2個のマークが12組あり，これが12個のエッジピースに対応する。

(4) 内側の円に沿った回転操作にともなって，回転操作を行った円に囲まれた9個の組もピースの関係を保持するために同じ向きに回転する。外側の円に沿った回転操作にともなって，回転操作を行った円の外側にある9個の組もピースの関係を保持するために逆向きに回転する必要がある。

石原純

石原純（1881-1947，いしわらあつし）といえば，岩波新書でアインシュタイン・インフェルトの「物理学はいかに創られたか」の訳者で，相対論や量子論についての仕事もあるというのは知っていた。

石原純は，寺田寅彦とともに岩波の雑誌「科学」を創刊し初代編集主任を務めた。科学ジャーナリズムによる物理学（相対論や量子論）の普及への寄与が大きい。それだけでなく，正岡子規門下の伊藤左千夫に師事するアララギ派の歌人でもあり，同人誌「アララギ」の発刊に参加している。

医者や科学者が，短歌や俳句の世界でも活躍している例はたくさんある。寺田寅彦，斎藤茂吉，水原秋桜子，高野素十，西東三鬼，有馬朗人などなど。ところが，石原純の場合はその先があった。

1921年，妻子を持つ身ながら，アララギの歌人原阿佐緒（1888-1969，宮城県大和町）と恋愛事件を起こし，東北帝国大学を教授職を辞職して，ともにアララギを脱会するに至る。石原は，1933年に妻子のもとに帰り，1945年末に交通事故で重傷を負って，1年後の1947年に亡くなった。

写真：Wikipediaから引用した原阿佐緒のポートレート

袈裟と盛遠

鎌倉殿の13人で，市川猿之助の扮する怪しい坊さんが，頼朝の周辺でなにやら平家追討に画策する場面が時折でてくる。前回は，義朝のドクロといわれるものを持ち出して，義経を京都から呼び戻す作戦に加わっていた。

これが，文覚上人（遠藤盛遠）であり，芥川龍之介の短編「袈裟と盛遠」で知られる盛遠の出家後の姿だった。菊池寛の戯曲「袈裟の良人」が原作となった衣笠貞之助の「地獄門」（1954年第7回カンヌグランプリ）にもつながっている。古典落語には「袈裟御前」という演目があり，笑福亭鶴光の話をYouTubeで聞くことができる。

袈裟御前をめぐる物語は，「袈裟御前の生涯」などに詳しい。遠藤盛遠が袈裟御前に懸想しなければ，彼女を斬り殺したことを悔いて出家し，文覚になることもなかった。となると，頼朝に平家討伐を迫って後白河法皇から院宣を入手していない世界線が存在する。コニー・ウィリスのタイムトラベルSFの日本版にふさわしいテーマだ。

写真：Endo Musha Morito Approaching Kesa's Bedroom（月岡芳年 Wikimedia Commons）

侮辱罪

5月18日に，「侮辱罪」の厳罰化法案が衆議院の法務委員会を通過した。

これは「刑法等の一部を改正する法律案」のことであり，その改正法案のほとんどは懲役，禁錮を拘禁刑に統合整理することに関わるものだ。そこに，ネットでの誹謗中傷に起因した自殺事件を口実とした侮辱罪の厳罰化が混入されたものになっている。

改正法案の第一条は，「刑法（明治四十年法律第四十五号）の一部を次のように改正する。第二百三十一条中「拘留又は科料」を「一年以下の懲役若しくは禁錮若しくは三十万円以下の罰金又は拘留若しくは科料」に改める。」である。

元の刑法第二百十一条は，第三十四章「名誉に対する罪」の一部である。改正法律案の第二条の後段の方で，上記下線部の「懲役若しくは禁錮」が「拘禁刑」に置き換えられる。それにしても，若しくはと又はの使い方がややこしい。

第三十四章　名誉に対する罪
（名誉毀き損）
第二百三十条　公然と事実を摘示し、人の名誉を毀き損した者は、その事実の有無にかかわらず、三年以下の懲役若しくは禁錮又は五十万円以下の罰金に処する。
２　死者の名誉を毀損した者は、虚偽の事実を摘示することによってした場合でなければ、罰しない。
（公共の利害に関する場合の特例）
第二百三十条の二　前条第一項の行為が公共の利害に関する事実に係り、かつ、その目的が専ら公益を図ることにあったと認める場合には、事実の真否を判断し、真実であることの証明があったときは、これを罰しない。
２　前項の規定の適用については、公訴が提起されるに至っていない人の犯罪行為に関する事実は、公共の利害に関する事実とみなす。
３　前条第一項の行為が公務員又は公選による公務員の候補者に関する事実に係る場合には、事実の真否を判断し、真実であることの証明があったときは、これを罰しない。
（侮辱）
第二百三十一条　事実を摘示しなくても、公然と人を侮辱した者は、拘留又は科料に処する。
（親告罪）
第二百三十二条　この章の罪は、告訴がなければ公訴を提起することができない。
２　告訴をすることができる者が天皇、皇后、太皇太后、皇太后又は皇嗣であるときは内閣総理大臣が、外国の君主又は大統領であるときはその国の代表者がそれぞれ代わって告訴を行う。

どう考えても，侮辱という定義の曖昧な概念のせいで，政治家やデマゴーグ達への侮辱罪だという喚き声が言論の自由を萎縮させる構図が露骨に透けて見える。維新の親玉がスラップ訴訟で批判を抑え込もうとしている現実を見れば，全く安心できないのだが，どのマスコミからも大きな批判がなくすんなりと通ってしまいそうだ。

なお，この改正案の第二条は刑法，第三条は刑事訴訟法，第四条は刑事収容施設及び被収容者等の処遇に関する法律，第五条は刑事収容施設及び被収容者等の処遇に関する法律（続き），第六条は更生保護法，第七条は更生保護法（続き），第八条は更生保護事業法，第九条は更生保護事業法（続き），第十条は少年院法，第十一条は少年鑑別院法，第十二条は少年鑑別院法（続き）となっている。

P. S. 親告罪の第二百三十二条で，上皇の取り扱いはどうなるのかと心配したところ，天皇の退位等に関する皇室典範特例法の附則で，上皇は天皇の上皇后は皇太后の例によるとされていた。

個人送信（１）

国立国会図書館の「個人向けデジタル資料送信サービス（略称：個人送信）」が5月19日から開始された。

国立国会図書館のデジタルコレクションは，約10年前に，「国立国会図書館デジタル化資料」として古典籍資料（貴重書等），図書，インターネット資料を提供開始したのが源流となっている。その後，博士論文，録音映像資料，や様々なタイプの資料が加わってきた。

著作権など権利関係に問題がないものは，すでにインターネット公開されている。著作権保護期間が満了していない資料や著作権の確認が完了していない資料のうち，絶版などで入手困難なものは，これまで図書館送信資料として，準備の調った最寄りの図書館で閲覧することができた。

今回は，このカテゴリーに個人向けデジタル化資料送信サービスとして加わる。国立国会図書館に登録した個人が，図書館を経由することなく，入手困難資料約153万点を直接見ることができるようになる。ただし，当面，PCやタブレットでの閲覧に限られており印刷することはできない。

条件として，日本国内に居住していることと面倒なハードルをつけていた。さらに，国立国会図書館の利用者登録が必要ときた。早速申し込んでみると，本人確認書類として免許証，保険証，マイナンバーカードなどから2点が要求された。なんとかクリアすると，分かりにくい登録番号が振られ，確認終了まで5営業日待てと。これだから日本の公共セクターのデジタル化は終わっている。

とりあえず仮登録したところで，アクセスできるよとの指示があるが，パスワードではねられてしまう残念な仕様になっているようだ。パスワードを変更してみたが（できた），やはりアクセスできない。「ダメなものはダメ（オーケー，グァン姉妹）」ならば初めからそう言って下さい。

［１］個人向けデジタル化資料送信サービス　利用規約

堀河夜討

NHKの大河ドラマ「 鎌倉殿の13人」は，平家が滅亡して義経が追われる段階に入ってきた。

人形浄瑠璃や歌舞伎の演目と重なるところが多いのでたいへん勉強になる。「義経千本桜」をはじめとして，「ひらかな盛衰記」「一谷嫩軍記」「源平布引滝」「近江源氏先陣館」「鬼一法眼三略巻」「鎌倉三代記」「梶原平三誉石切」「御所桜堀河夜討」などがこのテーマに関連した主な作品であり，文楽劇場でも何度か観ている。

今回は，1185年に頼朝の命を受けた土佐坊昌俊が，京都の六条堀河邸または六条室町亭にいる源義経を夜討するという史実に基づいた話だったが，ドラマでは義経の正妻の郷御前（三浦透子）がからむということになっていた。これが，浄瑠璃作品になると，平時忠の娘が正妻の郷の君になって，弁慶の隠し子が出てくるとか，もっと話がややこしくなったりするわけだ。

写真：堀河夜討の図（勝川春章，神奈川県立歴史博物館より引用）

越中大門

 越中大門は富山県射水市にある北陸本線の駅だ。北陸新幹線の開通後は，並行在来線の廃止にともなって第3セクターのあいのかぜ富山鉄道が運営している。

ところで，Unreal Engine 5 は，エピックゲームズというアメリカのコンピュータゲーム・ソフトウェアの開発会社がつくった，ゲームエンジンである。3次元コンピュータグラフィックス生成用のプログラムを3Dエンジンとよんでいたが，この延長上の概念に相当する。

Unreal Engine 5 は2020年に発表された。この機能を利用して，Lorentz Dragoというイタリアの3D環境アーティストが個人でモデリング，テクスチャリング，ライティング，アニメーションのすべてを手がけたものが，越中大門の駅の3DCGアニメーションだ。YouTube で2分49秒のコンテンツだけれど，見た目にはまったく現実の駅を撮影したものといわれてもわからない。途中で昼のシーンが急に夜に変わったところではじめてコンピュータによる合成画像だと気付く。

この技術がメタバースに組み込まれると，視覚上はほとんど現実と区別のつかない仮想世界体験が得られるかもしれない。

越中大門は，子どものころ母の実家の滑川まで里帰りするとき，蒸気機関車が牽引する鈍行列車で通過したなじみ深い駅だ。当時の北陸本線の駅を確認すると次のようになっていて，越中大門はちょうど金沢と滑川の中間あたりにある。

（現ＩＲいしかわ鉄道）金沢−東金沢−森本−津幡−倶利迦羅−（現あいの風とやま鉄道）石動−福岡−西高岡−高岡−越中大門−小杉−呉羽−富山−東富山−水橋−東滑川−滑川

ものごころついてから小学校5-6年ごろまで通ったのだが，西高岡，東富山，東滑川はあまり記憶に残っていない。東滑川はまだ開業していなかったかもしれない。北陸線の電化が進んで蒸気機関車が廃止になるころには，里帰りについていくこともなくなってしまった。

何度かトンネルをくぐるのだが，そのたびに蒸気機関車の煙が入らないよう窓を閉めていた。高岡駅のホームなどで母がアイスクリームを買いに降りるのだが，時間内に帰ってこられるかどうかドキドキしながら待っている小学生であった。

写真：越中大門駅のホーム（あいの風とやま鉄道から引用）

AI自動音声合成

 夜のNHKニュースで，AI自動音声合成によるというキャプションが出るものが登場した。これは，VOICEPEAKを使っているのかと調べると，NHK放送技術研究所が開発した独自の日本語音声合成システムらしい。

今回の開発では、「漢字仮名交じり文」から「仮名文字と韻律記号」を自動的に生成し、それを「系列変換モデル」の入力データとすることで大量のデータを効率的に学習させ、日本語の合成音声の品質を向上させることに成功しました。

また、仮名文字と韻律記号を簡単に編集できるユーザーインターフェースや、口調をニュース調や会話調などに切り替えられる技術も開発し、さまざまな番組の演出要件への対応も可能にしました。

ということで違和感なく聞くことができるレベルになって，NHKの朝のニュースにも採用されはじめた。VRのアバターによるニュースが始まるまであと一歩だ。アナウンサーは放送局のかかえるタレント的存在になっているが，その傾向に拍車がかかる。

なお，VOICEPEAKは29,800円くらいで購入できて商用利用も可能だが，VOICEVOXという無料の中品質音声合成ソフトウェアも登場していた。

［１］音声合成ソフトの進化がすごい！（PC Watch 2022.4.16）

沖縄返還50周年

今日は，1972年5月15日の沖縄の施政権返還から50周年，沖縄旅行の話は以前書いている。

1972年は，3月の3日から5日まで大学入試があり，4月からは大阪での生活がはじまった年だ。阪大物理学科の同窓会でも入学50年を迎えてという話があったがどうなることやら。

というわけで，1972年にあった様々なイベントは全て50年目を迎えることになる。そこで，Wikipediaをざっと調べて，自分の印象に残っているものをリストアップしてみた。千日前デパートビル火災と日中共同声明の記事が日本語版Wikipediaの1972年にはなかったが，英語版の1972年にはあった。

入試前の2月にいろいろな事件が集中していてたいへんだった。大学入試で金沢と大阪を往復した雷鳥の中で，パイオニア10号の記事をみて感動したのをおぼえている。カール・セーガンの発案で，地球外知的生命に向けてのメッセージを記録した金属板が搭載されていたからだ。

2月02日　横井庄一帰国
2月03日　札幌オリンピック開幕

2月21日　ニクソン訪中
2月28日　あさま山荘事件終結
3月01日　ローマクラブ「成長の限界」
3月02日　パイオニア10号打ち上げ
3月07日　連合赤軍リンチ殺人事件発覚（山岳ベース事件）
4月16日　川端康成ガス自殺
5月13日　千日前デパートビル火災
5月15日　沖縄返還・沖縄県発足
5月30日　テルアビブ空港乱射事件
9月05日　ミュンヘンオリンピック事件
9月29日　日中共同声明　日中国交正常化
12月7日　アポロ17号打ち上げ（アポロ計画終了）
12月28日　金日成国家主席就任

写真：パイオニア10号に搭載された知的生命体へのメッセージ金属板

［１］日本復帰への道（沖縄公文書館）

仏滅の周期

 トイレのカレンダーを見ていると，周期性のある仏滅の位置が今月末あたりでズレている。

六曜は，暦に記載される日時・方位などの吉凶、その日の運勢などの事項である暦注のひとつである。先勝（せんしょう）・友引（ともびき）・先負（せんぶ）・仏滅（ぶつめつ）・大安（たいあん）・赤口（しゃっこう）の六種がこの順に毎日繰り返す。

調べてみると，六曜の周期性の乱れは次のルールによる。旧暦の月の朔日が一月と七月は先勝，二月と八月は友引，三月と九月が先負，四月と十月が仏滅，五月と十一月が大安，六月と十二月が赤口と，あらかじめ定まった六曜が朔日に割り当てられており，これから順に並べていくことになる。そこで旧暦の月Mと日Dがわかれば，(M+D-2) mod 6 を計算しよう。この剰余の集合 { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } に対して，先ほどの六曜の集合 {先勝, 友引, 先負, 仏滅, 大安, 赤口} を順番に対応させれば，各月各日の六曜が決まる。

今年の5月30日は旧暦の皐月朔日（5月1日）になるので，大安にセットされる。このため仏滅が，新暦の5/7−5/13−5/19/−5/25−5/31 という系列からずれて，6/4になったというわけだ。

あまり役に立たない豆知識シリーズ終了。

LDLコレステロール（１）

人間ドック（２）からの続き

以前から，中性脂肪やLDLコレステロール値にしばしば警告が出ていたが，あまり気にすることはなかった。ところが，今回はいよいよ，要治療領域まであと一歩という説明をドクターから直接受けたので早速以前の結果を見直してみた。 

図：人間ドックにおける2001年以降の血清脂質値

この22年の人間ドックの検査値の平均は中性脂肪（TG=トリグリセリド）が TG=113±24 mg/dL（35-149），LDLコレステロール（悪玉）が LDL-C=139±11 mg/dL（70-139），HDLコレステロール（善玉）が HDL-C=61±4 mg/dL （40-）となった。総コレステロールは，TC=LDL-C+HDL-C+TG/5で求まり，TC=225±12 mg/dL（130-219）である。括弧内が正常値だ。なお 善玉を除いたnon-HDLコレステロールは，non-HDL-C = TC − HDL-C となっている。

中性脂肪とHDLコレステロールはほぼ問題ないのだが，これまでのLDLコレステロールの平均値が，許容値の70-139 mg/dL の上限に達し，上回ることの方が多かった。LDLコレステロールが140 mg/dL以上は高コレステロール血症に該当し，180 mg/dL以上が要治療対象だ。加齢や運動量の不足からか，定年後の3-4年でLDL-CやTCが上昇傾向にあるのがよろしくない。

高コレステロール血症の 2-3割は食物や生活習慣が原因で，7-8割がコレステロールをつくる肝臓の機能の問題らしい。肝臓の機能のうち遺伝的な原因が主ならばなかなか対応が難しいわけだ。ネットで検索するとちょっと怪しいサプリページがどんどんと引っかかってくる。

とりあえず，次の検査の3ヶ月後まで，動物性脂肪（飽和脂肪酸）を少しでも減らして，有酸素運動を始めろということか。

［１］脂質異常症（eヘルスネット）

［２］人間ドック学会判定区分（2021年度版）

人間ドック（２）

人間ドック（１）からの続き

昨日は，天理市立メディカルセンターの人間ドック健診日だった。

天理市の国民健康保険加入者に対する人間ドック補助制度がある，今年から条件に該当することになったので，早速申し込んでいた。メディカルセンターの受付時間は8:30から8:45までで，10分前につくと6番目だ。大手前病院では，家を6:00前に出て，7:15に病院に到着してやっと6番目前後だったので，えらい違いである。

天理市立メディカルセンターは，高井病院の福祉医療法人である高清会が運営していて，設備も比較的新しく普通の病院とあまりかわらない。健診を受けている人数がそもそも少ないので対応はよい。タニタの最新式体重計では，体脂肪率だけでなく身体各部の脂肪量や筋肉量まで算出してくれる。脂肪量は平均値なのだが，筋肉量が平均より2段階下である。どおりで懸垂ができなくなるわけだ。

気になった点は，(1) 眼底検査がなかなかうまくいかず，３回取り直した。これは私のせいなのか？(2) 聴力検査はかなりアバウトなのであった。(3) 胃Ｘ線（バリウム）は検査技師の方はとても丁寧で親切だったけれど，発泡剤を補助液なしにそのまま口に入れ，大量のバリウムで直接流し込む方式には閉口した。診断台で身体を支えるのもなかなか困難になってきたので，来年は胃カメラかな。

問診は，超音波検査を担当していたお医者さんに血液検査のデータを見ながら丁寧に説明してもらった。LDLコレステロールが170mg/dLと後一歩で要治療の180mg/dLに達するということで脅された。さっそく看護師の保健指導をうけつつ3ヶ月後の再検査を申し込むことに。

［１］バックス発泡顆粒（「透視開始に際して、造影剤投与開始直前あるいは投与開始後、年齢、胃内容積の個人差、造影の体位に応じて、約100~400mLの炭酸ガスの 発生量に相当する量を、少量の水または、造影剤と共に経口投与する」なので，補助液なしでもかまわないらしい。）

理想気体のエントロピー

 （１）熱力学的なエントロピー$S(U,V)$を，$dS=\frac{d'Q}{T}\ $で定義する。これを熱力学第一法則の中に埋め込むと$\ dU=TdS-pdV$，すなわち，$dS=\frac{dU}{T}+\frac{p dV}{T}$ となる。

ここに，理想気体の状態方程式$\ pV = nRT = N k_B T\ $と，単原子分子気体の内部エネルギーの表式，$U = n C_v T = n \frac{3}{2} R T = N \frac{3}{2} k_B T\ $ を代入する。

$dS= N k_B \Bigl( \frac{3}{2} \frac{dT}{T} + \frac{dV}{V} \Bigr )\quad \therefore \int dS = N k_B \Bigl( \frac{3}{2} \int \frac{dT}{T} + \int \frac{dV}{V} \Bigr )$ 

$S = S_0 + N k_B \Bigl( \frac{3}{2} \log \frac{T}{T_0} + \log \frac{V}{V_0} \Bigr) = S_0 +  N k_B \log \frac{T^{3/2}V}{T_0^{3/2}V_0}$

（２）一方，統計力学において，自由粒子の小正準集団のエントロピーは，ボルツマンの原理から，$S = k_B \log W(E) = k_B \log \frac{\partial}{\partial E} \Omega_0(E)\  \delta E$となる。

質量$m$の$N$粒子系のエネルギー$E$までの状態数$\ \Omega_0(E)\ $は，$N$粒子系の$6N$次元の位相空間の体積を$6N$次元細胞の体積$\ h^{3N}\ $と同一粒子が区別できないことによる因子$N!$で割ったものになり，運動量空間での半径$\ \sqrt{2mE}\ $の$3N$次元超球の体積の式を使うと，

$\displaystyle \Omega_0(E) = \frac{1}{h^{3N} N!} \int d{\bm q} \int _{\Sigma p_i^2/2m < E} d{\bm p} = \frac{V^N (2\pi m E)^{3/2}}{h^{3N}\Gamma(3N/2+1)}$

$W(E) = \frac{3N}{2} \frac{V^N}{N! (3N/2)!} \Bigl( \frac{2\pi m E}{h^2} \Bigr)^{3/2} \frac{\delta E}{E} =  \frac{3N}{2} \Bigl(\frac{V}{N}\Bigr) ^N\Bigl( \frac{2\pi m E}{3N/2} \Bigr)^{3N/2} e^{5N/2} \frac{\delta E}{E}$

$\therefore S(E) = k_B \log W(E) = N k_b \Bigl\{\frac{3}{2}\log \Bigl( \frac{4\pi m E}{3 h^2 N}\Bigr)  + \log \frac{V}{N} +\frac{5}{2} \Bigr\}$

$=N k_B  \log \frac{(2\pi m k_B T)^{3/2} V e^{5/2}}{N h^3}$

ここで，$\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial U}= \frac{\partial S}{\partial E} = \frac{3 N k_B }{2  E}$より，$\frac{E}{N}=\frac{3}{2}k_B T$を用いた。$S(E)$の式の$\log$の中身は無次元であり，$V/N$があるので，全体として示量変数ではないことが保証されている。

理想気体の熱力学的エントロピーと統計力学的エントロピーは，ともに $N k_B \log T^{3/2}V + const.$の形をしているが，定数部分まで含めて同じかどうかがよく理解できていない。

摩擦のあるカルノーサイクル（３）

 摩擦のあるカルノーサイクル（２）からの続き

摩擦のあるカルノーサイクルでクラウジウスの不等式を説明するためには，前回のように$W'$のなかの摩擦力による仕事$\delta w$として表現するかわりに摩擦力で生じた熱$\delta_{\rm q}=-\delta w < 0$として扱うこともできる。

仕事として表現すると：
等温過程 A$\rightarrow$B：（$Q_{\rm H}>0, \quad \delta w_{\rm AB}>0$）
$W'_{\rm AB}=\int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}} pdV -\delta w_{\rm AB}=W_{\rm AB} -\delta w_{\rm AB}=Q'_{\rm H}$
等温過程 C$\rightarrow$D：（$Q_{\rm L}<0, \quad \delta w_{\rm DC}>0$）
$W'_{\rm CD}=\int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}} pdV -\delta w_{\rm DC}=W_{\rm CD} -\delta w_{\rm DC}= Q'_{\rm L}$
熱として表現すると：
等温過程 A$\rightarrow$B：（$Q_{\rm H}>0, \quad \delta q_{\rm H}<0$）
$W'_{\rm AB}=\int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}} pdV + \delta q_{\rm H} = Q_{\rm H} +\delta q_{\rm H} = Q'_{\rm H}$
等温過程 C$\rightarrow$D：（$Q_{\rm L}<0, \quad \delta q_{\rm L} < 0$）
$W'_{\rm CD}=\int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}} pdV + \delta q_{\rm L} = Q_{\rm L} + \delta q_{\rm L}= Q'_{\rm L}$

カルノーサイクルにおいては，系に入る熱量を温度でわった，エントロピーに対応する状態量$\frac{Q}{T}$の和が保存していた。すなわち，$\dfrac{Q_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{Q_{\rm L}}{T_{\rm L}} = n R \log \dfrac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} + n R \log \dfrac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} = 0$

一方，摩擦のあるカルノーサイクルで，出入りする熱量に対して，温度で割ったものの和を考えると，$\dfrac{Q'_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{Q'_{\rm L}}{T_{\rm L}}=\dfrac{Q_{\rm H}+\delta q_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{Q_{\rm L}+\delta q_{\rm L}}{T_{\rm L}} = \dfrac{\delta q_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{\delta q_{\rm L}}{T_{\rm L}} \le 0$

これを一般化すると，可逆過程だけのサイクルについては $\displaystyle{ \oint \dfrac{d'Q}{T_{\rm ex}} = 0}$，不可逆過程を含むサイクルについては，$\displaystyle{\oint \dfrac{d'Q}{T_{\rm ex}} \le 0}$，ここで，$d'Q$は系が受け取る熱量で，$T_{\rm ex}$はその熱量を与えた熱源の温度である。これがクラウジウスの不等式。

図：不可逆過程におけるクラウジウスの不等式

準静的過程がわからない

エントロピーがわからないからの続き

熱力学の入門的教科書を手元に並べて呻吟している。

そういえば，教養課程で物理学科の専門科目として大学１年のときにクラス担任の国富信彦先生が担当したのが「物理学要論？」だった（科目名も忘れてしまった）。そこで，最初につまづいたのが応力テンソルと準静的過程だった。熱力学の初歩のところでは，覆水盆に返らずの話をしながら準静的過程の説明があったので，これは可逆過程なのか不可逆過程なのかどうなっているの？と混乱したのだった。

さて，並べているやさしい教科書は以下のとおり

１．フェルミ熱力学（エンリコ フェルミ，三省堂 1973）

２．熱・統計力学（戸田盛和，岩波書店 1983）

３．熱・統計力学の考え方（砂川重信，岩波書店 1993）

４．熱学入門（藤原邦男・兵藤俊夫，東京大学出版会 1995）

５．ゼロからの熱力学と統計力学（和逹三樹・十河清・出口哲生，岩波書店 2005）

フェルミには準静的過程というワードは出てこない。それに相当するものは熱平衡状態をつないでいく可逆過程で考えるという立場だ。戸田さんは，この本（熱力学）で扱う可逆過程は準静的過程に限定すると注意している。砂川さんは，力学的な過程も可逆過程に含め，可逆過程は必ずしも時間反転してたどる必要がないとしている。準静的過程は可逆過程の集合に含まれる。藤原さんや和逹さんは，可逆過程＝準静的過程としている。

広島大学の戸田昭彦さんは準静的過程と可逆過程に対してもっと細かな議論を展開していた。

摩擦のあるカルノーサイクル（２）

 摩擦のあるカルノーサイクル（１）からの続き

「エントロピーについての理解を図るため，不可逆過程の具体的な例を構成したい。そのためカルノーサイクルの等温過程においてのみピストンに散逸のある抵抗力=摩擦力が働くモデルを考える。この摩擦力は，ピス トンの運動方向と逆向きに作用し，その仕事はピストンに熱として放出され，カルノーサイクル の作業物質である理想気体には影響を及ぼさないものとする。この考察において作業物質の系=理想気体がする仕事は，ピストンを用いて測定されることに留意する。すなわち，ピストンに働く力の総和とピストンの変位の積によって作業物質系が「する」仕事や「される」仕事（＝負の「する」仕事）が定義される」

ということで，前書きをかいて計算をはじめてみたもののなかなか難渋するのであった。

図：摩擦のあるカルノーサイクルの散逸過程

等温過程 A $\rightarrow$ B：（$\delta_{\rm AB}>0$）

$W'_{\rm AB}=\int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}}p dV - \int_{d_{\rm A}}^{d_{\rm B}} f dx = nRT_{\rm H} \log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} - \delta w_{\rm AB} = Q_{\rm H} - \delta w_{\rm AB} = Q'_{\rm H}$

断熱過程 B $\rightarrow$ C：

$W'_{\rm BC}=\int_{V_{\rm B}}^{V_{\rm C}}p dV = \int_{\rm B}^{\rm C} -dU = U_{\rm B}-U_{\rm C} = n C_V (T_{\rm H}-T_{\rm L})$

等温過程 C $\rightarrow$ D：（$\delta_{\rm DC}>0$）

$W'_{\rm CD}=\int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}}p dV - \int_{d_{\rm C}}^{d_{\rm D}} f dx = nRT_{\rm L} \log \frac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} - \delta_{\rm DC} = Q_{\rm L} - \delta w_{\rm DC}= Q'_{\rm L}$

断熱過程 D $\rightarrow$ A：

$W'_{\rm DA}=\int_{V_{\rm D}}^{V_{\rm A}}p dV = \int_{\rm D}^{\rm A} -dU = U_{\rm D}-U_{\rm A} = n C_V (T_{\rm L}-T_{\rm H})$

したがって，この摩擦のあるカルノーサイクルの効率は次の式で与えられる。

$W'_c = W'_{\rm AB}+W'_{\rm BC}+W'_{\rm CA}+W'_{\rm AD}$

$= nRT_{\rm H}\log \frac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} -\delta_{\rm AB}  + nRT_{\rm L} \log \frac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} - \delta_{\rm DC} = Q_{\rm H} -\delta_{\rm AB} + Q_{\rm L} - \delta_{\rm DC}$

$\eta' = W'_c/Q'_{\rm H}=1-\frac{-Q'_{\rm L}}{Q'_{\rm H}} \approx 1-\frac{-Q_{\rm L}}{Q_{\rm H}} \bigl( 1+\frac{\delta w_{\rm DC}}{-Q_{\rm L}} \bigr) \bigl(1+\frac{\delta w_{\rm AB}}{Q_{\rm H}} \bigr)$

$\le 1-\bigl( \frac{-Q_{\rm L}}{Q_{\rm H}}\bigr) =  1-\frac{T_{\rm L}}{T_{\rm H}} = \eta_c$

こうして，摩擦のあるカルノーサイクルの効率$\eta'$は，カルノーサイクルの効率$\eta_c$より小さくなる。しかし，このままでは，$\int \frac{d'Q}{T} \le 0$の説明にうまくつながらない。

（注）ここではサイクルに入る熱量をすべて正，サイクルが外部にする仕事を全て正にとる。

摩擦のあるカルノーサイクル（１）

エントロピーがわからないからの続き

熱力学の第二法則と仮に導入したエントロピーの違いを明らかにしたい。普通の教科書ではクラウジウスの原理やトムソンの原理によるわけだが，そのためには，不可逆過程の考察が必要となる。その一番簡単な例は，力学でもなじみのある摩擦現象だと思う。

摩擦現象は力学的に細かく詰めて考えると何だか複雑で面倒なことになるが，とりあえず，摩擦現象は運動や仕事が熱に変換されて，力学的エネルギーが熱エネルギーとして環境中に散逸する過程だと考えることにする。環境中の熱エネルギーが直接集まってきて力学的エネルギーになるような現象は，巨視的には観察されないので，摩擦現象は不可逆過程である。

そこで，これまで練習してきたカルノーサイクルに摩擦を導入すれば，理解がしやすいのではないかと考えた。どの教科書をみてもそんな具体的な議論はされていない。クラウジウスやトムソンにしたがって，より抽象的な熱機関（可逆機関，不可逆機関）の組み合わせでの議論が進んでいくわけだ。

というわけで，より具体的な摩擦のあるカルノーサイクルを構成してみることに（続く）。

エントロピーがわからない

カルノーサイクルからの続き

エントロピーについての熱力学的な導入の論理がすっきりしないと，統計力学の授業が進めにくい。もちろん天下りでボルツマンの原理を導入してしまえばあとは計算だけになる。でも，それでは熱力学との関係もうやむやになりそうだ。

熱力学の第一法則で，$dU=d'Q+d'W=d'Q-pdV$のd'Qの部分も状態量の組み合わせで書けるとありがたい。$p$は示強変数，$V$は示量変数であり，その積がエネルギーの次元を持つ示量変数になっている。使える状態量として示強変数である温度$T$があるので，これに相補的な示量変数で温度との積がエネルギーの次元を持つ状態量をエントロピー$S$として導入して，$d'Q=TdS$とおくことにする。

もしこれができれば，状態量空間中の点を$A$，基準点を$O$として，$S(A)=\int_O^A \frac{d'Q}{T}$は状態量になる。この積分が状態量であるということは，平衡状態Aのみに依存して積分の経路にはよらないはずである。

そこで，カルノーサイクルの断熱過程で実際にこの量を計算してみれば，断熱過程ではエントロピー$S$が一定になる。つまり，カルノーサイクルというのは，エントロピーと温度を2軸とする状態図において，等温線と等エントロピー線に囲まれた長方形領域になる。

ここまでの議論は，準静的過程＝可逆過程について成り立つ話である。不可逆過程だとどうなるのか。肝腎の熱力学の第二法則との関係がついていないわけなのでさらなる検討が必要だ。

クローニッヒ・ペニーモデル（４）

クローニッヒ・ペニーモデル（３）からの続き

これまでの結果を用いて，具体的な数値を代入したグラフを作成する。与えられた$k_n$の値に依存して，$-1 \le \cos(k_n a) \le 1$の条件から，1電子のエネルギー$E$がとりうる範囲についての条件が定まる。このとき，電子が取り得るエネルギー領域を許容帯（allowed band），取りえないエネルギー領域を禁制帯（forbidden band）とよぶ。相互作用のない電子の多粒子系では，これらの離散化された許容帯に電子が充填されることになる。

Mathematicaによって，この様子を確認してみれば次のようになる。

a = 2; b = 0.04; hc = 1973; m = 1.022*10^6; p = 2*1.05017;
v = 2*hc^2*p/(1.022*10^6*a*b)
(hc)^2/(m a^2)
200.001
0.952233

\[Alpha][e_] := Sqrt[m*e]*(a - b)/hc;
\[Beta][e_] := Sqrt[m*(v - e)]*b/hc;
\[Gamma][e_] := Sqrt[m*e]*a/hc;
X[e_] := Cos[\[Alpha][e]] Cosh[\[Beta][ e]] + ((\[Beta][e]/b)^2 - (\[Alpha][e]/(a - b))^2)/(2*\[Alpha][ e]/(a - b)*\[Beta][e]/b) Sin[\[Alpha][e]] Sinh[\[Beta][e]]

Plot[{ X[e], 1, (Cos[\[Gamma][e]] + p*Sin[\[Gamma][e]]/\[Gamma][e]), -1, Cos[\[Gamma][e]]}, {e, 0, 200}, PlotRange -> {-1.5, 3.5}, PlotStyle -> {Red, Gray, Blue, Gray, Orange}]
Table[FindRoot[X[e] == 1, {e, (hc a n )^2/(2 m) }], {n, 1, 5}]
{{e -> 2.95059}, {e -> 37.6031}, {e -> 45.1073}, {e -> 150.412}, {e -> 158.267}}
Table[ FindRoot[X[e] == -1, {e, 0.9*(hc a n )^2/(2 m) }], {n, 1, 6}]
{{e -> 9.40077}, {e -> 16.0036}, {e -> 84.6069}, {e -> 92.3771}, {e -> 242.886}, {e -> 242.886 + 0. I}}

d0 = Plot[{10^6 (e - 2.95059), 10^6 (e - 9.40077), 10^6 (e - 16.0036), 10^6 (e - 37.6031), 10^6 (e - 45.1073), 10^6 (e - 84.6069), 10^6 (e - 92.3771), 10^6 (e - 150.421), 10^6 (e - 158.267)}, {e, 0, (4 Pi)^2}, PlotStyle -> Table[{Gray, Dotted}, 9], PlotRange -> {0, 13}];
f0 = Plot[{0, Pi, 2 Pi, 3 Pi, 4 Pi}, {e, 0, (4 Pi)^2}, PlotStyle -> Table[{Green, Dotted}, 5]];
g0 = Plot[\[Gamma][e], {e, 0, (4 Pi)^2}, PlotStyle -> {Orange, Dashed}];
g1 = Plot[ArcCos[X[e]], {e, 0, Pi^2}];
g2 = Plot[2 Pi - ArcCos[X[e]], {e, Pi^2, (2 Pi)^2}];
g3 = Plot[2 Pi + ArcCos[X[e]], {e, (2 Pi)^2, .98 (3 Pi)^2}];
g4 = Plot[4 Pi - ArcCos[X[e]], {e, .98 (3 Pi)^2, .95 (4 Pi)^2}];

Show[{d0, f0, g0, g1, g2, g3, g4}, PlotRange -> {-1, 15}]

図１：境界条件から決まる（energy-cos(ka)）のグラフ

図２：図１から決まる分散関係（energy-ka）のグラフ

ポテンシャルの幅$b$を格子周期$a$の2%に設定したため，$b \rightarrow 0$の近似がよく当てはまる。そこで，$X(pa)$と$\cos \gamma(e) + P \sin \gamma(e)/\gamma(e)\ $の誤差は1%以下となり，グラフ上では区別できなくなっている。

なお，$e=\frac{(\hbar k)^2}{2m}=\frac{(\hbar c)^2}{2mc^2 a^2}\cdot (ka)^2 = 0.952233 (ka)^2\ $であることに注意する。

クローニッヒ・ペニーモデル（３）

クローニッヒ・ペニーモデル（２）からの続き

1次元ポテンシャルに周期性があるときに，ブロッホの定理から$\psi(x)=e^{ikx}\varphi(x)$と表わせて，$\psi(x+a)=e^{ik(x+a)}\varphi(x+a)=e^{ika} e^{ikx}\varphi(x)=e^{ika}\psi(x)$が成り立つ。このときの波動関数は運動量演算子の固有状態なのだろうか？違います。前回やったように，このハミルトニアンは有限の並進操作に対して不変だけれど，運動量に対応する無限小並進操作については不変ではないから。

ところで，この長さ$L=N a$の1次元周期ポテンシャルモデルの両端を同一視する周期境界条件をつけると（$N$はポテンシャルステップの数＝原子数，$a$はポテンシャルの周期＝原子間隔），$\psi(L)=\psi(0) \quad \psi(L)=e^{i k a \cdot N}\psi(0) \quad \therefore e^{i k a N}=1$

これから$k$に対する条件，$k_n = \frac{2\pi n}{a N}\quad (n=0,\pm 1, \pm 2 \cdots)\ $が得られる。$k_n$は量子数 $n$ で特徴づけられるこの状態の波数という意味をもつ。

前回得られた境界条件は，系のエネルギーを$E$，ポテンシャルの深さと幅を$V_0, b$，ポテンシャル周期を$a$として，$p=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$，$q=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$とおくと，$\cos k a  =  \cos p(a-b) \cosh qb + \frac{q^2-p^2}{2 p q} \sin p(a-b) \sinh qb$ である。これは，与えられた$k = k_n$に対して，系のエネルギーを決定する式になる。

(1) $b \rightarrow 0$ の極限では$p_n=k_n$となり，$E_n=\frac{\hbar k_n^2}{2m} = \frac{2 \hbar^2 \pi^2 n^2}{m a^2 N^2}$となる。

(2) 次に，$V_0 b$を一定に保ちながら，$b \rightarrow 0,\ V_0 \rightarrow \infty$とするδ関数型極限を考える。このとき，$\sinh qb \rightarrow qb$であり，右辺第2項は，$\frac{(q^2-p^2)ba}{2} \frac{\sin p(a-b)}{p a}$となる。最終的に，$\cos k a  =  \cos p a + \frac{m c^2 V_0 b a}{(\hbar c)^2} \frac{\sin pa}{pa}$ という近似式が得られる。

例えば，$a=2$ Å，$b=0.04$ Å，$mc^2 = 0.511 \times 10^6$ eV，$\hbar c =1973$ eV Å， $V_0=100$ eVとすると， 無次元のポテンシャル強度パラメータは，$\frac{m c^2 V_0 b a}{(\hbar c)^2}=1.05$となる。

日本國憲法前文

憲法記念日だが，ウクライナへのロシアの侵略戦争が続いている。先の見えない円安で疲弊した我々の心の隙に，右翼デマゴーグ達の好戦的なイデオロギーが陽に陰に染み込んでいく。こんなときは，日本國憲法の前文を写経して心を鎮めるしかない。若者は「最高法規の意志～ 憲法の本質と改正の動向 ～」をチラ見する方が役に立つかも。

　　　日本國憲法 

　日本國民は、正當に選擧された國會における代表者を通じて行動し、われらとわれらの子孫のために、諸國民との協和による成果と、わが國全土にわたつて自由のもたらす惠澤を確保し、政府の行爲によつて再び戰箏の惨禍が起ることのないやうにすることを決意し、ここに主權が國民に存することを宣言し、この憲法を確定する。そもそも國政は、國民の嚴肅な信託によるものであつて、その權威は國民に由來し、その權力は國民の代表者がこれを行使し、その福利は國民がこれを享受する。これは人類普遍の原理であり、この憲法は、かかる原理に基くものである。われらは、これに反する一切の憲法、法令及び詔勅を排除する。

　日本國民は、恒久の平和を念願し、人間相互の關係を支配する崇高な理想を深く自覺するのであつて、平和を愛する諸國民の公正と信義に信頼して、われらの安全と生存を保持しようと決意した。われらは、平和を維持し、專制と隷從、壓迫と偏狹を地上から永遠に除去しようと努めてゐる國際社會において、名譽ある地位を占めたいと思ふ。われらは、全世界の國民が、ひとしく恐怖と缺乏から免かれ、平和のうちに生存する權利を有することを確認する。

　われらは、いづれの國家も、自國のことのみに專念して他國を無視してはならないのであつて、政治道徳の法則は、普遍的なものであり、この法則に從ふことは、自國の主權を維持し、他國と對等關係に立たうとする各國の責務であると信ずる。

　日本國民は、國家の名譽にかけ、全力をあげてこの崇高な理想と目的を達成することを誓ふ。

クローニッヒ・ペニーモデル（２）

クローニッヒ・ペニーモデル（１）からの続き

前回，周期ポテンシャル中で正のエネルギーを持った電子の運動について考えた。自由電子とはいえ，金属中に束縛されているのだからポテンシャルの上端に対して負のエネルギーを持った電子を考えなければならなかった。

上智大学名誉教授の清水清孝さん（元有馬研）が，電子情報通信学会の知識ベース知識の森の12群5編量子力学・電子物理・相対論を執筆していて，そこにバンド理論入門についての話もあった。

そこで，前回のポテンシャルの符号を $-V_0 \rightarrow V_0$としたモデルで$0<E<V_0$の場合を考える。すなわち，ポテンシャルは，つぎの形を繰り返したものになる。
領域 Ⅰ：$V(x) =  \ 0 \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $
領域 Ⅱ：$V(x) = V_0 \ \cdots \ (-b < x < 0)$

自由電子のエネルギーは正だが，ポテンシャルの高さより小さいので，領域Iでは解は平面波，領域IIでは指数関数になる。$p=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, q=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$とおいて一般解は，

領域 Ⅰ：$\psi_{\rm I}(x) = A e^{i p x} + A' e^{-i p x} \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $

領域 Ⅱ：$\psi_{\rm II}(x) =  B e^{q x} + B' e^{- q x} \ \cdots \ (-b < x < 0)\ $

前回のように波動関数とその導関数が，領域Iと領域IIの境界で連続である条件から，

$\psi_{\rm I}(0) = \psi_{\rm II}(0);\ \psi_{\rm I}'(0) = \psi_{\rm II}'(0)$，$\psi_{\rm I}(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}(-b);\ \psi_{\rm I}'(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}'(-b)$

$A+A'=B+B'$
$i p(A-A')=q(B-B')$
$A\ e^{ip(a-b)}+A'e^{-ip(a-b)}=(B\ e^{-qb}+B'e^{qb})e^{ika}$
$i pA\ e^{ip(a-b)}-i pA'e^{-ip(a-b)}=(qB\ e^{-qb}-qB'e^{qb})e^{ika}$

ここで，$\alpha = p(a-b)$，$\beta = q b$と置くと，

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ i p & -i p & -q & q \\ e^{i\alpha} & e^{-i\alpha} & -e^{-\beta}e^{ika} & -e^{\beta}e^{ika} \\ i p e^{i\alpha} & - i p e^{-i\alpha} & -q e^{-\beta}e^{ika} & q e^{\beta}e^{ika} \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} A\\ A' \\ B \\ B' \end{array} \right) = 0$

4元連立方程式が自明でない解を持つためには，行列式が0であり，列の加減により等価な行列式を求める（3行目から$e^{ika}$を，2列目から$i$を外にくくり出した）。

$i e^{ika} \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & p & 0 & q \\ \cos \alpha \ e^{-ika} & \sin \alpha \  e^{-ika}& -\cosh \beta & - \sinh \beta \\ -p\ \sin \alpha & p\ \cos \alpha & q\ \sinh \beta \ e^{ika} & q\ \cosh \beta \ e^{ika} \end{array} \right|  = 0$

これから4x4行列式の値$|M|$を計算する。

$|M|=  p\ q\ e^{i k a} \left | \begin{array}{cc} -\cosh \beta  & - \sinh \beta  \\ \sinh \beta & \cosh \beta \end{array} \right | + q \left | \begin{array}{cc}  \sin \alpha e^{-i k a } & - \cosh \beta \\  p \cos \alpha & q \sinh \beta e^{ika} \end{array} \right |$

$\qquad \quad - q\ p\ e^{-i k a}\ \left | \begin{array}{cc} \cos \alpha  &  \sin \alpha \\ - \sin \alpha & \cos \alpha  \end{array} \right | - p \left | \begin{array}{cc} - \sinh \beta  & \cos \alpha e^{-ika} \\ q \cosh \beta e^{ika} & -p \sin \alpha \end{array} \right |$

$\quad = -2 p q \cos ka + q( q \sin \alpha \sinh \beta + p \cos \alpha \cosh \beta ) -p (p \sin \alpha \sinh \beta -q \cos \alpha \cosh \beta )$

$\quad = -2 p q \cos ka +2 p q \cos \alpha \cosh \beta +(q^2-p^2) \sin \beta \sinh \beta = 0$

最終的に得られる関係式は，次のとおりである。

$\cos ka  = \cos \alpha \cosh \beta -\frac{p^2-q^2}{2 p q} \sin \alpha \sinh \beta$

$\qquad = \cos p(a-b) \cosh qb -\frac{p^2-q^2}{2 p q} \sin p(a-b) \sinh qb$

（付）この式は，$E>V_0$の場合は次のように変形できるので，このまま使うことができる。$q=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar} \rightarrow i \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar} \equiv i\bar{q}\ $として，$\sinh ix = i \sin x,\ \cosh ix = \cos x$を用いると，

$\cos ka  =  \cos p(a-b) \cos \bar{q}b -\frac{p^2 + \bar{q}^2}{2 p \bar{q}} \sin p(a-b) \sin \bar{q} b\ $となる。これは（１）で得られた式と同等なもの。

図：クローニッヒ・ペニーモデル

クローニッヒ・ペニーモデル（１）

クローニッヒ・ペニーモデルは周期性を持った１次元井戸型ポテンシャルのモデルであり，結晶のバンド構造の定性的な特徴を説明することができる。

図：クローニッヒ・ペニーモデルの設定（Wikipediaより引用）

電子の質量を$m$として，1粒子の1次元シュレーディンガー方程式は，$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) +V(x) \psi(x) = E \psi(x)$である。ポテンシャルは周期性を持ち，$n$を整数として$V(x+n a)=V(x)\ $であり，ブロッホの定理から波動関数は，$\psi(x) = e^{i k x} \varphi(x)$ かつ $\varphi(x + n a)=\varphi(x)$を満たす。

ポテンシャルは，つぎの形を繰り返したものになる。

領域 Ⅰ：$V(x) =  \ 0 \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $

領域 Ⅱ：$V(x) = -V_0 \ \cdots \ (-b < x < 0)$

波動関数の周期性からは，$\psi(x+a) = e^{i k (x+a)}\varphi(x+a) = e^{i k (x+a)}\varphi(x) = e^{i k a} \psi(x) \ $が成り立つ。その導関数は$\psi'(x+a) = e^{i k a}\psi '(x)$となる。なお，$\psi'(x) = i k e^{i k x}\varphi(x) + e^{i k x}\varphi'(x) = i k \psi(x) + e^{i k x}\varphi'(x)$である。

自由電子のエネルギーは正であり，ポテンシャルが定数であるため，どちらの領域でも解は平面波になる。$p=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, q=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}$として一般解は，

領域 Ⅰ：$\psi_{\rm I}(x) = A e^{i p x} + A' e^{-i p x} \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $

$\qquad \quad = e^{i k x} (A e^{i (p-k) x} + A' e^{-i (p+k) x} )$

領域 Ⅱ：$\psi_{\rm II}(x) =  B e^{i q x} + B' e^{-i q x} \ \cdots \ (-b < x < 0)\ $

$\qquad \quad = e^{i k x} (B e^{i (q-k) x} + B' e^{-i (q+k) x})$

波動関数とその導関数が，領域Iと領域IIの境界で連続であるという条件を書く。
$\psi_{\rm I}(0) = \psi_{\rm II}(0);\ \psi_{\rm I}'(0) = \psi_{\rm II}'(0)$，$\psi_{\rm I}(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}(-b);\ \psi_{\rm I}'(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}'(-b)$

$A+A'=B+B'$
$p(A-A')=q(B-B')$
$A\ e^{ip(a-b)}+A'e^{-ip(a-b)}=B\ e^{-iqb+ika}+B'e^{iqb+ika}$
$pA\ e^{ip(a-b)}-pA'e^{-ip(a-b)}=qB\ e^{-iqb+ika}-qB'e^{iqb+ika}$

ここで，$\alpha = p(a-b)$，$\beta = q b$と置く。

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ p & -p & -q & q \\ e^{i\alpha} & e^{-i\alpha} & -e^{-i\beta}e^{ika} & -e^{i\beta}e^{ika} \\ p e^{i\alpha} & - p e^{-i\alpha} & -q e^{-i\beta}e^{ika} & q e^{i\beta}e^{ika} \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} A\\ A' \\ B \\ B' \end{array} \right) = 0$

波動関数の係数に対するこの4元連立方程式が自明でない解を持つためには，行列式が0でなければならない。この条件をつかって，2列と1列の和と差，4列と3列の和と差から等価な行列式を求めれば，次のようになる（3行目から$e^{ika}$を外にくくり出した）。

$e^{ika} \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & p & 0 & q \\ \cos \alpha \ e^{-ika} & i \sin \alpha \  e^{-ika}& -\cos \beta & -i \sin \beta \\ i p\ \sin \alpha & p\ \cos \alpha & i q\ \sin \beta \ e^{ika} & q\ \cos \beta \ e^{ika} \end{array} \right|  = 0$

これから4x4行列式の値$|M|$を計算する。

$|M|= p\ q\ e^{i k a} \left | \begin{array}{cc} -\cos \beta  & - i \sin \beta  \\ i \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right | + q \left | \begin{array}{cc} i \sin \alpha e^{-i k a } & - \cos \beta \\ p \cos \alpha & i q \sin \beta e^{ika} \end{array} \right |$

$\qquad \quad - q\ p\ e^{-i k a}\ \left | \begin{array}{cc} \cos \alpha  & i \sin \alpha \\ i \sin \alpha & \cos \alpha  \end{array} \right | - p \left | \begin{array}{cc} -i \sin \beta  & \cos \alpha e^{-ika} \\ q \cos \beta e^{ika} & i p \sin \alpha \end{array} \right |$

$\quad = -2 p q \cos ka + q( -q \sin \alpha \sin \beta + p \cos \alpha \cos \beta ) -p (p \sin \alpha \sin \beta -q \cos \alpha \cos \beta )$

$\quad = -2 p q \cos ka +2 p q \cos \alpha \cos \beta -(p^2+q^2) \sin \beta \sin \beta = 0$

最終的に得られる関係式は，次のとおりである。

$\cos ka  = \cos \alpha \cos \beta -\frac{p^2+q^2}{2 p q} \sin \alpha \sin \beta$

$\qquad = \cos p(a-b) \cos qb -\frac{p^2+q^2}{2 p q} \sin p(a-b) \sin qb$

4行4列の行列式は，Mathematicaを使えば手軽に計算できるのだけれど，手計算でもなんとかなる場合があるということを学ぶ。