鏡像法（４）からの続き
接地された円筒導体について鏡像法を使う例を考える。原点Oを中心として半径Rの円筒導体がz軸方向に無限に延びている（円筒面上では，x2+y2=R2が満たされている）。x軸上の(a,0,0)を通って，z軸に平行で線電荷密度λの直線がおかれている。これを鏡像法で解く際に，x軸上の(b,0,0)を通って，z軸に平行で線電荷密度−λ′の直線があると考える。円筒導体面では等電位になっており，これを基準に取る。
図：接地された円筒導体と直線電荷に対する鏡像法
円筒面上の電位は，V(x,y)=λ2πε0log√(x−a)2+y2−λ′2πε0log√(x−b)2+y2+C
=14πε0{λlog(R2+a2−2ax)−λ′log(R2+b2−2bx)}+C=0 である。
これがxによらずに成立するためには，logの中のx依存性が消える必要がある。そこで，第2項をλ′log(R2+b2−2bx)=λ′logba(abR2+ab−2ax)と書き換えると，V(x,y)=λ4πε0{log(R2+a2−2ax)−λ′λlog(abR2+ab−2ax)}+C′
つまり，λ=λ′, R2+a2=abR2+ab であればxによらず定数になる。
これから鏡像となる直線電荷に対して，λ=λ′,R2=abという条件が得られる。
この鏡像電荷が円筒導体上に分布する。導体面上の単位長さ当たり面電荷密度はσ(θ)=ε0Er(θ)Rdθ=−ε0∂V(R)∂RRdθで与えられる。x=Rcosθであることに注意して，
Er(θ)=−λ2πε0{R−acosθR2+a2−2aRcosθ−R−bcosθR2+b2−2bRcosθ}
−λ2πε0{R−acosθR2+a2−2aRcosθ−R−bcosθR2+b2−2bRcosθ}
第2項のbをb=R2/aによって消去して整理すると，
Er(θ)=−λ2πε0{R−acosθR2+a2−2aRcosθ−R−bcosθR2+b2−2bRcosθ}
=−λ2πε0{R−acosθR2+a2−2aRcosθ−R−R2/acosθR2+R4/a2−2R3/acosθ}
=−λ2πε0{R−acosθR2+a2−2aRcosθ−a2/R−acosθa2+R2−2aRcosθ}
∴
つまり導体円筒面には静電誘導によって単位長さ当たり-\lambdaの電荷が誘起されることが確認できた。これは，鏡像電荷（青線）の仮定と辻褄が合っている。なお，積分の第1項はゼロであり，第2項がこの結果を与えている。また，接地されていない場合は，導体円筒の中心軸上に単位長さ当たり+\lambdaの直線をおけば，円筒導体に誘起される電荷の総和はゼロにすることができる。
