集合の濃度（１）

集合族からの続き

前回の続きのキーワードは，「集合族・一般の直積・選出公理・関係・同値関係・同値律・類別・直和・同値類・商集合」ということで，61pの第２章　集合の濃度にはいる。

対等関係：集合Ａから集合Ｂの全単射が存在するとき，ＢとＡは対等であるといい，Ａ〜Ｂと書き，Ａ〜Ａ，Ａ〜Ｂ⇒Ｂ〜Ａ，Ａ〜Ｂ，Ｂ〜Ｃ⇒Ａ〜Ｃ，が成り立つ

濃度：対等関係を集合の同値関係とみなして，「集合全体のあつまり」を同値類に類別できる。この同値類を濃度（基数）といい，集合Ａの属する類の濃度（同値類の名前）をcard Ａであらわす。そこで，Ａ〜Ｂ⇔card Ａ= card Ｂ（card Aはあたかも数のようにみえるが，この等号はいったいなにかしら）

濃度の大小：ＡからＢへの単射が存在するとき，これを集合のあいだの関係とみなして，「大小関係」と名付け，card Ａ≦ card B と表記する。card Ａ≦ card Bでありかつ，card Ａ= card Bでないときに，card Ａ＜ card Bと表記する。

有限集合の濃度：有限集合Ａの元の個数をｎ（これは自然数）として，card A = ｎ と表記する。空集合φにたいしては，card φ = 0 と表記する。濃度の大小関係と自然数の通常の大小関係は対応している。

可算集合の濃度：自然数の集合をＮとして，card Ｎ= ℵ_0と表記する。Ｎと対等な集合を可算集合あるいは可付番集合という。任意の有限集合の元の個数ｎに対して，濃度の大小関係としてｎ＜ℵ_0 となる。整数の集合をＺ，有理数の集合をＱとすると，card Ｚ=  card Ｑ= ℵ_0 である。

連続の濃度：実数の集合Ｒに対して，card Ｒ= ℵ と表記し，これを連続の濃度という。対角線論法により，ℵ＞ℵ_0 である。ℵ_0より大きな濃度をもつ集合を非可算集合という。

ベキ集合の濃度：任意の集合Ｍに対して，そのベキ集合を𝔓(Ｍ)とすると，card 𝔓(Ｍ) ＞card Ｍである。