順序集合（２）

順序集合（１）からの続き

整列集合：（Ｗ，≦）を全順序集合として，その空でない部分集合がいつも最小元をもつ場合，（Ｗ，≦）を整列集合という。有限の全順序集合や，順序関係として普通の大小関係を考えたときの自然数の集合Ｎは整列集合であり，整数の集合Ｚや有理数の集合Ｑは整列集合でない。

直前の元と直後の元：順序集合Ａの任意の元ａ，ｂについてａ＜ｂかつ，ａ＜ｘ＜ｂとなるＡの元ｘが存在しないとき，ａはｂの直前の元，ｂはａの直後の元であるという。整列集合Ｗについては，その任意の元ａに対して，ａ＜ｂとなるｂが存在すれば，整列集合の定義からａの直後の元が存在する。

切片：Ｗを整列集合として，その一つの元をａとする。ａより小さなＷの元全体の集合を，Ｗのａによる切片といい，Ｗ〈ａ〉で表す。つまり，Ｗ〈ａ〉 = {ｘ| ｘ∈Ｗ，ｘ＜ａ}である。ａ＝min Wのときは，Ｗ〈ａ〉 = φとなる。また，ａが直前の元を持つならばそれは，ａ* = max Ｗ〈ａ〉 とかける。

超限帰納法：整列集合Ｗの元に関する命題Ｐについて，次のことが示されれば，ＰはＷのすべての元について成り立つ。「(1) Ｐがｘ = min Ｗについて成り立つ。(2) ∀ａ∈Ｗ かつ ａ≠ min Ｗ として，∀ｘ∈Ｗ＜ａについてＰが成り立つ ⇒ Ｐはａについて成り立つ」これは自然数に対する数学的帰納法の一般化であり超限帰納法とよばれる。