　　　　On a Thread of the Web: スリンキーの自由落下（１）

2019年5月9日木曜日

スリンキーの自由落下（１）

@sekibunnteisuu @irobutsu @Yh_Taguchi @Hal_Tasaki @genkuroki などで以前から話題になっていたスリンキーの自由落下をようやくいまごろ目にした。最も簡単な力学モデルについて，田口さんがすでにQiitaに書いているのだけれど，自分でもやってみた。黒木さんのjuliaの計算は凄いし，田崎さんの物理的説明もわかりやすいし，前野さんの動画もおもしろいのだった。

質量$m_1$の粒子１と質量$m_2$の粒子２が，自然長 $L$，バネ定数 $k$ の軽いバネの両端に取り付けられている。粒子１を原点に置いて支えながら，鉛直下方に静かにバネを垂らすと粒子２は $x=L+m_2 g /k $の位置で静止する。時刻 $t=0$ で粒子１の支えを静かに取り去ると，２つの粒子は重力とバネの弾性力によって運動を開始する。

運動方程式と初期条件は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
m_1 \ddot{x} _1 &= m_1 g + k (x_2 - x_1 - L)\\
m_2 \ddot{x} _2 &= m_2 g - k (x_2 - x_1 - L)\\
x_1(0) &= 0, \quad \dot{x}_1(0)=0\\
x_2(0) &= L+\frac{m_2 g}{k}, \quad \dot{x}_2(0)=0
\end{aligned}
\end{equation}
ここで，重心座標 $x_G=(m_1 x_1 + m_2 x_2 )/M$ と相対座標 $x=x_2-x_1$ を導入する。ただし，全質量を $M=m_1+m_2$ ，換算質量を $\mu = m_1 m_2 /M $ とする。

運動方程式と初期条件は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
M \ddot{x}_G &= M g \\
\mu \ddot{x} &= - k (x - L)\\
x_G(0) &= \frac{m_2}{M} (L+\frac{m_2 g}{k}), \quad \dot{x}_G(0)=0\\
x(0) &= L+\frac{m_2 g}{k}, \quad \dot{x}(0)=0
\end{aligned}
\end{equation}これを解くと，$\omega = \sqrt{k/\mu}$として，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_G(t) &= g t^2 /2 + \frac{m_2}{M} (L+\frac{m_2 g}{k})\\
x(t) &= L+ \frac{m_2 g}{k} \cos \omega t\\
x_1(t) &= g t^2/2 + \frac{m_2 g}{k}(\frac{m_2}{M} - \frac{m_2}{M} \cos \omega t)\\
x_2(t) &= L+ g t^2/2 + \frac{m_2 g}{k}( \frac{m_2}{M} + \frac{m_1}{M} \cos \omega t)
\end{aligned}
\end{equation}

これをMathematicaでグラフ化すると，
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x1[t_] := g/2 t^2 + m2 g/k
(m2/(m1+m2) - m2/(m1+m2) Cos[Sqrt[(m1+m2)k/(m1*m2)]t])
x2[t_] := L + g/2 t^2 + m2 g/ k
(m2/(m1+m2) + m1/(m1+m2) Cos[Sqrt[(m1+m2)k/(m1*m2)]t])
k = 5; m1 = 1; m2 = 1; g = 10; L = 1;
Plot[{-x1[t], -x2[t], -x2[t] + L}, {t, 0, Pi/4}]
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