　　　　On a Thread of the Web: スリンキーの自由落下（１）

2019年5月9日木曜日

スリンキーの自由落下（１）

@sekibunnteisuu @irobutsu @Yh_Taguchi @Hal_Tasaki @genkuroki などで以前から話題になっていたスリンキーの自由落下をようやくいまごろ目にした。最も簡単な力学モデルについて，田口さんがすでにQiitaに書いているのだけれど，自分でもやってみた。黒木さんのjuliaの計算は凄いし，田崎さんの物理的説明もわかりやすいし，前野さんの動画もおもしろいのだった。

質量

$m_1$ の粒子１と質量

$m_2$ の粒子２が，自然長

$L$ ，バネ定数

$k$ の軽いバネの両端に取り付けられている。粒子１を原点に置いて支えながら，鉛直下方に静かにバネを垂らすと粒子２は

$x=L+m_2 g /k$ の位置で静止する。時刻

$t=0$ で粒子１の支えを静かに取り去ると，２つの粒子は重力とバネの弾性力によって運動を開始する。

運動方程式と初期条件は，

$\begin{equation} \begin{aligned} m_1 \ddot{x} _1 &= m_1 g + k (x_2 - x_1 - L)\\ m_2 \ddot{x} _2 &= m_2 g - k (x_2 - x_1 - L)\\ x_1(0) &= 0, \quad \dot{x}_1(0)=0\\ x_2(0) &= L+\frac{m_2 g}{k}, \quad \dot{x}_2(0)=0 \end{aligned} \end{equation}$
ここで，重心座標

$x_G=(m_1 x_1 + m_2 x_2 )/M$ と相対座標

$x=x_2-x_1$ を導入する。ただし，全質量を

$M=m_1+m_2$ ，換算質量を

$\mu = m_1 m_2 /M$ とする。

運動方程式と初期条件は，

$\begin{equation} \begin{aligned} M \ddot{x}_G &= M g \\ \mu \ddot{x} &= - k (x - L)\\ x_G(0) &= \frac{m_2}{M} (L+\frac{m_2 g}{k}), \quad \dot{x}_G(0)=0\\ x(0) &= L+\frac{m_2 g}{k}, \quad \dot{x}(0)=0 \end{aligned} \end{equation}$ これを解くと，

$\omega = \sqrt{k/\mu}$ として，

$\begin{equation} \begin{aligned} x_G(t) &= g t^2 /2 + \frac{m_2}{M} (L+\frac{m_2 g}{k})\\ x(t) &= L+ \frac{m_2 g}{k} \cos \omega t\\ x_1(t) &= g t^2/2 + \frac{m_2 g}{k}(\frac{m_2}{M} - \frac{m_2}{M} \cos \omega t)\\ x_2(t) &= L+ g t^2/2 + \frac{m_2 g}{k}( \frac{m_2}{M} + \frac{m_1}{M} \cos \omega t) \end{aligned} \end{equation}$

これをMathematicaでグラフ化すると，
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x1[t_] := g/2 t^2 + m2 g/k
(m2/(m1+m2) - m2/(m1+m2) Cos[Sqrt[(m1+m2)k/(m1*m2)]t])
x2[t_] := L + g/2 t^2 + m2 g/ k
(m2/(m1+m2) + m1/(m1+m2) Cos[Sqrt[(m1+m2)k/(m1*m2)]t])
k = 5; m1 = 1; m2 = 1; g = 10; L = 1;
Plot[{-x1[t], -x2[t], -x2[t] + L}, {t, 0, Pi/4}]
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