　　　　On a Thread of the Web: スリンキーの自由落下（２）

2019年5月10日金曜日

スリンキーの自由落下（２）

スリンキーの自由落下（１）からの続き

念のために，3つの同種粒子が２つの同種バネにつながっている場合を確かめてみる。
各粒子の質量を$m$，バネ定数を$k$，自然長を$L$とする。粒子１のみを原点で支え，粒子２と粒子３が鉛直下方に吊りさがって静止した状態から始める。

運動方程式と初期条件は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
m \ddot{x}_1 &= m g + k (x_2-x_1-L)\\
m \ddot{x}_2 &= m g - k (x_2-x_1-L) + k (x_3-x_2-L)\\
m \ddot{x}_3 &= m g - k (x_3-x_2-L) \\
x_1(0) &= 0, \quad \dot{x}_1(0) = 0\\
x_2(0) &= L + 2 m g/k, \quad \dot{x}_2(0) = 0\\
x_3(0) &= 2 L + 3 m g/k, \quad \dot{x}_3(0) = 0\\
\end{aligned}
\end{equation}
$M=3m$とし，重心座標 $x_G=(x_1+x_2+x_3)/3$と２つの相対座標$y_1=x_2-x_1-L,\ y_2=x_3-x_2-L$ を導入すると，運動方程式と初期条件は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
M \ddot{x}_G &= M g\\
m \ddot{y}_1 &= - 2 k y_1 + k y_2\\
m \ddot{y}_2 &= k y_1 -2 k y_2\\
x_G(0) &= L+\frac{5 m g}{3 k}, \quad \dot{x}_G(0) = 0\\
y_1(0) &= \frac{2 m g}{k}, \quad \dot{y}_1(0) = 0\\
y_2(0) &= \frac{m g}{k}, \quad \dot{y}_2(0) = 0
\end{aligned}
\end{equation}
これらは簡単に解くことができて（$\omega = \sqrt{k/m}$とした），
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_G &= x_G(0)+ g t^2/2\\
y_1 &= \frac{3mg}{2k} \cos \omega t + \frac{mg}{2k} \cos \sqrt{3}\omega t\\
y_2 &= \frac{3mg}{2k} \cos \omega t - \frac{mg}{2k} \cos \sqrt{3}\omega t
\end{aligned}
\end{equation}
したがって，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{5mg}{3k}+ \frac{g}{2} t^2 - \frac{3mg}{2k}\cos \omega t - \frac{mg}{6k}\cos \sqrt{3} \omega t \\
x_2 &= L+ \frac{5mg}{3k} + \frac{g}{2} t^2 + \frac{mg}{3k} \cos \sqrt{3}\omega t\\
x_3 &= 2L+\frac{5mg}{3k} + \frac{g}{2} t^2 + \frac{3mg}{2k} \cos \omega t - \frac{mg}{6k} \cos \sqrt{3}\omega t
\end{aligned}
\end{equation}

Mathematicaで計算してみると，
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
xg[t_] := L + 5 m g/(3 k) + g t^2/2
y1[t_] := 3 m g/(2 k) Cos[Sqrt[k/m] t] + m g/(2 k) Cos[Sqrt[3 k/m] t]
y2[t_] := 3 m g/(2 k) Cos[Sqrt[k/m] t] - m g/(2 k) Cos[Sqrt[3 k/m] t]
x3[t_] := xg[t] + L + (y1[t] + 2 y2[t])/3
x2[t_] := x3[t] - L - y2[t]
x1[t_] := x2[t] - L - y1[t]