イジング模型

図：1次元イジング模型（ChatGPTによる）

おなじみのイジング模型は格子点上にスピンが配置されたモデルであり，磁性体の相転移などの考察に用いられる。1920年に，ヴィルヘルム・レンツが提案し，その学生のエルンストイジングが1924年に博士論文で1次元イジング模型を研究した。

Ｑ（koshix）：

１次元イジングモデルの導出について，できるだけわかりやすく，かつ，簡潔にお願いします。LaTeXで下さい。

Ａ（ChatGPT）：

古典論的1次元イジングモデルでは，各格子点にスピン変数，$s_i=\pm 1$を置く。

隣り合うスピンだけが相互作用するとし，外部磁場を\(h\)，相互作用定数を \(J\) とすると，ハミルトニアンは$H=-J\sum_{i=1}^{N}s_i s_{i+1}-h\sum_{i=1}^{N}s_i$である。

ここで周期境界条件$s_{N+1}=s_1$を仮定する。

温度 \(T\) における分配関数は，$Z=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\beta H)$である。ただし$\beta=\frac{1}{k_{\mathrm B}T}$。

ハミルトニアンを代入すると，$Z=\sum_{\{s_i\}}\exp\left[\beta J\sum_{i=1}^{N}s_i s_{i+1}+\beta h\sum_{i=1}^{N}s_i\right]$となる。

ここで磁場の項を隣接する結合に半分ずつ分けると，$\beta h \sum_{i=1}^{N}s_i=\sum_{i=1}^{N}\frac{\beta h}{2}(s_i+s_{i+1})$と書ける。

したがって分配関数は，$Z=\sum_{\{s_i\}}\prod_{i=1}^{N}\exp\left[\beta J s_i s_{i+1}+\frac{\beta h}{2}(s_i+s_{i+1})\right]$となる。

ここで転送行列 \(T\) を$T_{s,s'} = \exp \left[ \beta J s s' + \frac{\beta h}{2} (s+s') \right]$ と定義する。スピン \(s,s'\) はそれぞれ \(\pm 1\) をとるので，$T= \begin{pmatrix} e^{\beta J+\beta h} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J-\beta h} \end{pmatrix} $ である。

このとき分配関数は，転送行列の積のトレースとして$ Z=\operatorname{Tr}T^N $ と書ける。転送行列の固有値を \(\lambda_+\), \(\lambda_-\) とすると，$ Z=\lambda_+^N+\lambda_-^N $ である。

転送行列の固有値は $ \lambda_{\pm} = e^{\beta J}\cosh(\beta h) \pm \sqrt{ e^{2\beta J}\sinh^2(\beta h) + e^{-2\beta J}} $ となる。

熱力学極限 $ N\to\infty $ では，大きい固有値 \(\lambda_+\) だけが支配的なので，$ Z\simeq \lambda_+^N $となる。

したがって，1スピンあたりの自由エネルギーは$ f = -\frac{1}{\beta} \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\log Z = -\frac{1}{\beta}\log\lambda_+$ である。

特に外部磁場がない場合，$ h=0 $ ならば，$ \lambda_+ = e^{\beta J}+e^{-\beta J} =2\cosh(\beta J) $なので，$ f =-\frac{1}{\beta} \log \left[ 2 \cosh(\beta J) \right] $となる。

この結果から，1次元イジングモデルでは有限温度で相転移がないことも分かる。
なぜなら，自由エネルギーは $ T>0 $ で解析的であり，特異性を持たないからである。つまり，1次元イジングモデルは低温ではスピンがそろいやすいが，有限温度では真の強磁性相転移を起こさない。