パデ近似（２）

パデ近似（１）からの続き

そんなわけで，$\displaystyle f(x) = \sum_{k=1}^\infty c_k x^{(k-1)/2}$として，同じようなことをすれば，$\sqrt{x}$を含んだ関数近似$f(x) = a(x)/b(x)$ ができるのではないかと考えた。

$f(x) = c_0 + c_1 \sqrt{x} + c_2 x + c_3 x\sqrt{x} + c_4 x^2+ c_5 x^2 \sqrt{x} + c_6 x^3 + \cdots$

$a(x) =  a_0 + a_1 \sqrt{x} + a_2 x + a_3 x\sqrt{x} + a_4 x^2+ a_5 x^2 \sqrt{x} + a_6 x^3 + \cdots$

$b(x) =  1 + b_1 \sqrt{x} + b_2 x + b_3 x\sqrt{x} + b_4 x^2+ b_5 x^2 \sqrt{x} + b_6 x^3 + \cdots$

$a(x) = b(x) f(x) $ の両辺の係数を比較すると，

$x^0 \quad$：　$a_0 = c_0$

$\sqrt{x}\ \ $：　$a_1 = c_1 + c_0 b_1$

$x^1 \quad$：　$a_2 = c_2 + c_1 b_1 +  c_0 b_2$ 

$x^1 \sqrt{x}\ $： $a_3 = c_3 + c_2 b_1 +  c_1 b_2 + c_0 b_3$

$x^2 \quad$：　$a_4 = c_4 + c_3 b_1 +  c_2 b_2 + c_1 b_3 + c_0 b_4$

$x^2 \sqrt{x}\ $： $a_5 = c_5 + c_4 b_1 +  c_3 b_2 + c_2 b_3 +c_1 b_4 + c_0 b_5 $

$x^3 \quad$：　$a_6 = c_6 + c_5 b_1 +  c_4 b_2 + c_3 b_3 +c_2 b_4 + c_1 b_5 + c_0 b_6$

ここで，$f(x)=\log(1+x) = x -x^2/2 + x^3/3$として（$c_0=c_1=c_3=c_5=0$），

$a(x), b(x)$を$x\sqrt{x}$まで取ってみると，うまくかない。逆行列が作れず解なしになってしまう。しかたがないので，上の式を$c_8 x^4$まで拡張してようやく，$b_1=0, b_2=1, b_3=0, b_4=6$と，$a_0=0, a_1=0, a_2=1, a_3=0, a_4=1/2$が得られた。

なんのことはない，$\displaystyle f(x) = \dfrac{x+x^2/2}{1+x+x^2/6}$ で$\sqrt{x}$が含まれないものだった。チーン。

（注）これはChatGPTにも注意されたところだけれど，もとの問題 $\log(x)$ ではない。級数展開係数が簡単な $\log(1+x)$ で確認しようとしたものだ。$c_6 x^3$まででうまくいかなかったのは，（$c_k$にゼロが多くて）係数を決めるための条件が足りないからといわれた。

［１］Chemical reaction networks for computing logarithm（C. T. Chou）

［２］平方根を用いた立方根の近似と実装例（細田隆之）