複式簿記

複式簿記を勉強しようかなと思っていたら，それは群論で理解できるとの託宣が空から降ってきた。そういうのが好きだ。

早速，調べてみた。ところで，生成AIに尋ねることを「調べる」といって良いのだろうか。

Ｑ（koshix）：

複式簿記が代数学の群であるとはどういう意味ですか。その場合，群をなしている集合は何の集合であり，定義されている演算はどのようなものですか。また，単位元と逆元はどうなりますか。 

Ａ（ChatGPT-4o）：

複式簿記が代数学の群（Group）であるということは、複式簿記の操作や構造が群の公理を満たしているということです。群の基本的な定義に基づいて、複式簿記を群として解釈する際のポイントを説明します。

群の定義

群とは、集合 $G$ とその上の二項演算 ∗ に対して、以下の4つの公理を満たす代数構造のことです。

１．結合律（Associativity）：任意の $a, b, c \in G$について，$(a*b)*c = a*(b*c)$ が成立する。

２．単位元（Identity element）： $G$ の中に単位元 $e$ が存在して、任意の$ a \in G $について，$e*a = a*e = a$ が成立する。

３．逆元（Inverse element）：任意の $a \in G$について，$a * b = b * a = e$を満たす元 $b \in G$ が存在する（$b = a^{-1}$）。

４．閉性（Closure）：任意の $a, b \in G$について，$a*b \in G$ である。

複式簿記における群の解釈

１．集合 $\ G$：

・複式簿記では、資産、負債、収益、費用、純資産といった「勘定科目」の集合が存在します。この勘定科目が群を構成する集合 $G$ に相当します。

２．演算 $\ *$：

・演算としては「仕訳」が相当します。仕訳とは、ある勘定科目から他の勘定科目への「移動」を意味します。したがって、群の演算 $*$ は「ある仕訳と別の仕訳を組み合わせて新しい仕訳を作る操作」と解釈できます。

３．単位元 $\ e$：

・単位元は群の要素と何らかの操作を行ってもその要素を変化させない要素です。複式簿記の文脈では「無操作」、すなわち資産や負債に何も影響を与えない操作が単位元に相当します。これは「仕訳を行わない」という状態を表します。

４．逆元 $\  a^{-1}$：

・逆元は、仕訳による操作を元に戻す操作に相当します。例えば、「ある勘定科目に借方として100円を記入する」という仕訳の逆元は「同じ勘定科目に貸方として100円を記入する」仕訳です。これによって、仕訳の効果が打ち消され、元の状態に戻ることになります。

群の公理の適用

１．結合律：仕訳は連続して適用されても、その順序が変わっても同じ結果を得られるため、結合律が成り立ちます。

２．単位元の存在：「無操作」の仕訳は、どの仕訳とも組み合わせても仕訳内容を変えないため、単位元が存在します。

３．逆元の存在：各仕訳に対して、その効果を打ち消す逆の仕訳が存在するため、逆元が存在します。

４．閉性：すべての仕訳は、勘定科目の集合内での操作であるため、仕訳を適用した結果もまた勘定科目の集合内に留まります。

結論

複式簿記を群と見なす場合、勘定科目の集合が群をなす集合に対応し、仕訳の操作が群の演算に相当します。単位元は「無操作」、逆元は「仕訳の逆操作」として解釈できます。この解釈によって、複式簿記の構造が代数学の群の性質を持つことが理解できます。

［１］複式簿記（岡部洋一）