「変位電流が磁場を作るか」という物理教育の問題に関連して，半直線電流とその先端に電荷がたまる系がしばしば取り扱われる。このとき，磁場の回転が変位電流の球対称場となるような解が必要になる。これが，ディラックの磁気単極子で登場するベクトルポテンシャルの回転が球対称な磁場になる解と同じ構造をもっているという指摘がされていた[1]。
そこで，磁気単極子が作る磁場とベクトルポテンシャルの計算を確かめてみた。
3次元極座標系（eρ, eθ,eϕ）では，
A=g1−cosθrsinθeϕ=g√x2+y2+z2−z√x2+y2+z2 (x2+y2)(−yex+xey)
このとき，
∇×A=grr3
ところで，これはz軸上では特異的であるから，その部分の構造を極限操作で取り出す。
以下では，円筒座標系（eρ,eϕ,ez）で考える。
Aϵ=g θ(ρ−ϵ)ρ(1−z√ρ2+z2+ϵ2)eϕ=Aϵeϕ
∇×Aϵ=−∂Aϵ∂zeρ+1ρ∂(ρAϵ)∂ρez
=g θ(ρ−ϵ)ρ{ρ2+ϵ2(ρ2+z2+ϵ2)3/2eρ+ρz(ρ2+z2+ϵ2)3/2ez}
+g δ(ρ−ϵ)ρ{1−z√ρ2+z2+ϵ2}ez
=g θ(ρ−ϵ)ρ2+z2+ϵ2{ρeρ+zez√ρ2+z2+ϵ2}+g δ(ρ−ϵ)ρ{2−1−z√ρ2+z2+ϵ2}ez
ここでは z<0 という条件を課しているので，最後の{ }の中の第2項と第3項の和はゼロになる（ lim で \dfrac{\rho\delta(\rho)}{2z^2}となるため ）。
また２次元のデルタ関数について次の関係式が成り立つ。
\delta(\bm{\rho}) = \dfrac{\delta(\rho)}{\rho} \delta(\phi) = \delta(x) \delta(y)\quad \therefore \dfrac{\delta(\rho)}{\rho} = 2\pi \delta(x)\delta(y)
したがって，この条件を保証する\theta(-z)を含め，r^2=\rho^2+z^2として，
\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \nabla \times \bm{A}_\epsilon = \nabla \times \bm{A} = g \dfrac{\bm{\hat{r}}}{r^2} + 4\pi g\ \delta(x)\delta(y) \theta(-z) \bm{e}_z
この式の発散を計算すると，
\nabla \cdot \nabla \times \bm{A} = - g \nabla \cdot \nabla \dfrac{1}{r} + 4 \pi g \delta(x) \delta(y) \dfrac{\partial \theta(-z)}{\partial z} = 4 \pi g \delta(\bm{r}) - 4\pi g \delta (\bm{r})= 0
［１］半直線電流による電磁場の厳密解（斎藤吉彦，2014）
［２］Dirac quantisation condition: a comprehensive review（R. Heras，2018）
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