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2023年7月24日月曜日

最小二乗法(4)

最小二乗法(3)からの続き

(a, b)  に対する平均二乗誤差,(σ2a, σ2b)を考える。(a, b) は直接測定された(x, y)の関数であるが,このうちxiの誤差は非常に小さく,yiの誤差だけがn個の独立変数として伝搬して(a, b) に反映すると仮定する。ただし,各yi自身の平均二乗誤差は共通でありこれをσ2yとおく。

誤差伝播の法則より,
σ2a=ni=1(ayi)2σ2y=σ2yn2Δ2ni=1(xi¯x)2=σ2ynΔ2(¯x2¯x2)=σ2ynΔ

σ2b=ni=1(byi)2σ2y=σ2yn2Δ2ni=1(¯x2¯xxi)2=σ2y ¯x2nΔ2(¯x2¯x2)=σ2y ¯x2nΔ

残るは,σ2y=1nni=1(εi)2 を実験値から導くことになる。ここで,εi=yi(a0xi+b0)=yi(axi+b)+(axi+b)(a0xi+b0)=δi+~εi である。
ただし,a0xi+b0が未知の真値,axi+bが平均値に対応し,δiが残差, ~εiが平均値の誤差に相当する。

σ2y=1nni=i{δ2i+~εi2} ここで,2nni=1δi˜εi=0 である。なぜならば˜εixiの一次関数であり,正規方程式より, ni=1δi=0ni=1δixi=0 が成り立つから。

そこで,y(xi)=axi+bとして,~σ2y(xi)=1nni=i~εi2=1nni=i{axi+ba0xib0}2を求めることになるが,ここで,(a,b)yiの関数として誤差伝搬の法則を再度使って,σ2yで表せばよい(と吉澤康和さんの「新しい誤差論(1989)」に書いてあった)。


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