(a, b) に対する平均二乗誤差,(σ2a, σ2b)を考える。(a, b) は直接測定された(x, y)の関数であるが,このうちxiの誤差は非常に小さく,yiの誤差だけがn個の独立変数として伝搬して(a, b) に反映すると仮定する。ただし,各yi自身の平均二乗誤差は共通でありこれをσ2yとおく。
誤差伝播の法則より,
σ2a=n∑i=1(∂a∂yi)2σ2y=σ2yn2Δ2n∑i=1(xi−¯x)2=σ2ynΔ2(¯x2−¯x2)=σ2ynΔ
σ2b=n∑i=1(∂b∂yi)2σ2y=σ2yn2Δ2n∑i=1(¯x2−¯xxi)2=σ2y ¯x2nΔ2(¯x2−¯x2)=σ2y ¯x2nΔ
残るは,σ2y=1nn∑i=1(εi)2 を実験値から導くことになる。ここで,εi=yi−(a0xi+b0)=yi−(axi+b)+(axi+b)−(a0xi+b0)=δi+~εi である。
ただし,a0xi+b0が未知の真値,axi+bが平均値に対応し,δiが残差, ~εiが平均値の誤差に相当する。
∴σ2y=1nn∑i=i{δ2i+~εi2} ここで,2nn∑i=1δi˜εi=0 である。なぜならば˜εiはxiの一次関数であり,正規方程式より, ∑ni=1δi=0 と ∑ni=1δixi=0 が成り立つから。
そこで,y(xi)=axi+bとして,~σ2y(xi)=1nn∑i=i~εi2=1nn∑i=i{axi+b−a0xi−b0}2を求めることになるが,ここで,(a,b)が yiの関数として誤差伝搬の法則を再度使って,σ2yで表せばよい(と吉澤康和さんの「新しい誤差論(1989)」に書いてあった)。
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