複素平面上の三角形

Twitterでyujitachさんが，次の式が複素数（a, b, c）の入れ替えについて対称なのはなぜ？という疑問を呈していた。与式は，$\left| \sqrt{a-b}+ i \sqrt{b-c}\ \right| +\left | \sqrt{a-b}-i\sqrt{b-c}\  \right |$ である。見かけ上はまったく対称でないので不思議な感じがする。

Twitterの集合知はすごいもので，早速回答が寄せられていた。$x=\sqrt{a-b},\ y=\sqrt{b-c}, \ z=\sqrt{c-a}$とおくと，$x^2+y^2+z^2=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$である。

与式は$|x+i\,y|+|x-i\,y|$であり，その二乗は，

$(x+i\,y)(x^*-i\,y^*) + (x-i\,y)(x^*+i\,y*) + 2\left| (x+i\,y)(x-i\,y) \right |$ 

$= 2|x|^2+2|y|^2+2\left | x^2+y^2 \right | = 2 (|x|^2+|y|^2+|z|^2)$

したがってこれは(x,y,z)の入れ替えについて対称であり，(a, b, c) の入れ替えについても対称となる。その幾何学的な意味は，(a, b, c) が表す複素平面上の三点を結ぶ三角形の三辺の長さの二乗和である。