四項間漸化式

 三項間漸化式からの続き

前回の問題を次のように修正する。2次方程式$\ x^2-p x + q = 0\ $の解を$\alpha, \beta$として，$a_n = \alpha^n +\beta^n$と定義する。ただし，$a_0=2,\  a_1 =\alpha + \beta = p,\  a_{-1}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{p}{q}$である。

このとき，次の漸化式，$a_{n+1}=p\ a_{n}-q\ a_{n-1}, \ (n=0,1,2 \cdots)$が成り立つ。

また，数列の一般項は $a_n = \alpha^n + \beta^n = \Bigl( \dfrac{p + \sqrt{p^2-4q}}{2} \Bigr)^n +  \Bigl(\dfrac{p - \sqrt{p^2-4q}}{2} \Bigr)^n$ で与えられる。

これを3次方程式に拡張すると次のようになる。3次方程式$\ x^3-p x^2 + q x -r = 0\ $の解を$\alpha, \beta, \gamma$として，$b_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$と定義する。ただし，$b_0=3,\  b_1 =\alpha + \beta + \gamma = p,\  b_{-1}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} +\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma} = \frac{q}{r}$である。

このとき，漸化式は，$b_{n+2}=p\ b_{n+1}-q\ b_{n}+r\ b_{n-1}, \ (n=0,1,2 \cdots)$となる。

さらに，数列の一般項は $b_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$なので，基本対称式の値，$p=\alpha+\beta+\gamma,\ q=\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha,\ r=\alpha \beta \gamma$の多項式になる。2次方程式の場合のように，3次方程式の一般解を代入してもよいが，非常に煩雑な表現になってしまい，Mathematicaを持ってしてもExpandとSimplifyを組み合わせて n=8で行き詰まってしまった。もちろん，漸化式を使えば大丈夫なのだが。

a = x /. Solve[x^3 - p x^2 + q x - r == 0, x];

b[n_] := a[[1]]^n + a[[2]]^n + a[[3]]^n

Table[Expand[b[i]] // Simplify, {i, 1, 8}]

{p, p^2 - 2 q, p^3 - 3 p q + 3 r, p^4 - 4 p^2 q + 2 q^2 + 4 p r, p^5 - 5 p^3 q + 5 p q^2 + 5 p^2 r - 5 q r, p^6 - 6 p^4 q + 9 p^2 q^2 - 2 q^3 + 6 p^3 r - 12 p q r + 3 r^2, p^7 - 7 p^5 q + 14 p^3 q^2 - 7 p q^3 + 7 p^4 r - 21 p^2 q r + 7 q^2 r + 7 p r^2, p^8 - 8 p^6 q + 20 p^4 q^2 + 8 p^5 r - 32 p^3 q r + 24 p q^2 r + 2 q (q^3 - 4 r^2) - 4 p^2 (4 q^3 - 3 r^2)}