浮力の問題（２）

浮力の問題（１）では，水底に接地した物体の重さを，物体がない水底の水圧に対する抗力と物体がある場合の抗力との差によって定義した。これは，我々が大気中で電子天秤を使う状況と同じである。なぜならば，大気圧のみが皿に加わる状態をゼロに設定した上で，空気中で物体をのせて測定しているからだ。ところで，アルキメデスの頃には電子天秤や圧力センサーはなかったので，普通の天秤で水中の物体の重さを定義する方法を考えたい。これは，Graf の論文の末尾で読者への宿題とされた問題でもある。

場面設定

重力加速度を$g$とする。容器に密度$\rho$の水を入れ，表面をＡ，底面をＢとする。簡単のため大気圧は考えない。図のように設置した天秤の皿の片方を空気中，もう一方を水中に置き，両方の皿が空のときに釣り合うように調整する。天秤の皿は非常に薄く，その質量も体積も無視することができる。

質量$m$，底面積$S$，高さ$d$の同じ直方体Ｃ，Ｄを用意して，図のように天秤の皿に静かにのせると同時に，天秤が水平に釣り合うように天秤の左側に質量$\Delta m$の錘を取り付けた。なお，図において，$P_i$はベクトルの始点の深さでの水圧，$R_i$は皿が物体へ及ぼす抗力，$F_i$は物体が皿に及ぼす力を表す。

また，天秤の皿の面積を$\Sigma$，物体Ｃの底面のうちで皿に触れていない部分の面積を$S'$とする。この部分は物体と皿の非常に狭い隙間にしみ込んだ水による水圧が働く部分に対応しており，図ではこれを片方によせて表現した。逆に，皿と物体Ｃが隙間なく直かに接する部分の面積は$S-S'$である。

図　物体の水中での重さを測定する天秤

①： 空気中の物体Ｄについて
物体Ｄに働く重力$mg$と，皿からの抗力$R_2$が釣り合っている。また，作用反作用の法則からＤが皿に及ぼす力$F_2$の大きさは$R_2$に等しい。
\begin{equation}
mg = R_2 = F_2
\end{equation}

②：水中の物体Ｃについて
物体Ｃに働く重力$mg$とＣの上面への力$P_1 S$の和が，抗力$R_1$とＣ下面の隙間から上向きに働く力$P_2 S'$の和と釣り合っている。
\begin{equation}
\begin{aligned}
m g + P_1 S &= R_1 + P_2 S' \\
\therefore R_1 &= m g + \rho g \ell S - \rho g (\ell + d) S'\\
&= m g -\rho g d S + \rho g (\ell + d) (S - S')
\end{aligned}
\end{equation}
ここで$P_1= \rho g \ell$は深さ$\ell$における水圧であり，$P_2= \rho g (\ell+d)$は深さ$\ell+d$における水圧である。

次に，Ｃをのせている皿について考えてみる。皿の上面には，水圧から来る下向きの力$P_2 (\Sigma - S + S')$と抗力$R_1$の反作用の和が加わり，下面には，水圧による上向きの力$P_2 \Sigma$が働く。その差が皿に加わる下向きの力$F_1$となる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_1 &= R_1 + P_2(\Sigma - S + S') - P_2 \Sigma\\
\therefore F_1 &= R_1 -\rho g (\ell+d) (S - S') \\
&= m g - \rho g d S
\end{aligned}
\end{equation}

③： 天秤の釣り合いの条件

①と②によって$F_1$と$F_2$が得られた。水中においた物体Ｃが軽くなった分を質量$\Delta m$の錘で補償することで天秤は釣り合っている。そこで 水中の物体の重さを次式で定義する。

\begin{equation}
m'g \equiv m g -\Delta m g
\end{equation}

天秤の釣り合いの式は次のようになって，$\Delta m g$が求まる。

\begin{equation}
\begin{aligned}
 F_1 + \Delta m g &= F_2 \\
m g - \rho g d S + \Delta m g &= m g \\
\therefore \Delta m g &= \rho g d S
\end{aligned}
\end{equation}

結論

水中の物体の重さ$m' g\,$を上図のように天秤で測る操作から定義した。このとき，高さ$d$，底面積$S$の物体の密度$\rho$の水中での重さ$m' g$と空気中での重さ$m g$との間には次式が成り立つ。これはアルキメデスの原理によって物体が浮力の分だけ軽くなる式と同じである。

\begin{equation}
m' g = m g - \rho g d S
\end{equation}

同時にこれは，深さ$\,h\,$の水底（天秤の皿上）に接地している物体の重さを定義しているとみなすこともできる。また，$S' \to S$の極限では，水中で接地していない物体の重さの定義にもつながっている。

つまり，天秤を用いた物体の重さの定義を用いると，物体が水中にある場合と，水底に接地している場合を区別せずに扱うことができ，いずれの場合も通常の浮力の式と同じ分だけ物体が軽いとして測定される。ただし，これらの効果を共に浮力によるとするかどうかは浮力の定義の問題となる。以上の結論は，物体の底面とそれが接する容器や皿との実際の接地面の面積$\,S-S'\,$が，物体のもともとの底面積$\,S\,$とどのような比率になっているかには依存しない。

参考文献

［１］What Did Archimedes Say About Buoyancy?（E. H. Graf）

The Physics Teacher Vol. 42 296-299 (2004)

［２］アルキメデスは浮力の原理をどう説明したか（右近修治）

物理学通信 No.117 (2004)