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2021年3月11日木曜日

被写界深度

 被写界深度(Depth of Field)について,良くわかっていなかったので調べてみた。単なる幾何光学の練習問題だったので,大学入試問題に使えるかもしれない。

カメラのレンズ系を焦点距離 f の1枚の薄い凸レンズで近似する。レンズの中心を原点Oとする。レンズの回転対称軸を x 軸にとってカメラの撮像素子方向を正にとる。原点から x 軸上の撮影対象までの距離を b,撮影対象が結像する撮像素子面までの距離を a とする。このとき,次の関係が成り立つ。

1a+1b=1f

ところで,撮影対象の前後から出た光は,撮像素子面では厳密には結像しないが,実際にはセンサーの画素サイズ分の誤差  ε が許容される。撮像素子面上で,フルサイズセンサー(35mm)なら ε=1/30 mm,APS-Cやマイクロフォーサーズなら ε=1/60 mm の範囲は結像したものとみなすことができる。このとき x 軸上では,焦点深度 δ=Fε の許容幅があることになる。ただし絞り値(F値)は F= 焦点距離/有効口径である。

そこで,a±=a±δ を結像位置とする,撮影対象の x 軸上の点を b と表すと,次式が成り立つ。

1a+1b+=1f1a++1b=1f

(1)(2)式から f を消去すると次式が得られる。

1b+1b=1a1a1b1b=1a++1a

ここで,aδ と近似し,(1)式を用いて,1a=bfbf とすると,

1b±=1bδa2=1bδ(bfbf)2

これから,b± は次のように求まる。最後の近似は,bfとした場合である。

b±b=11δb(bff)211δb/f2=11Fεb/f2

これによって,対象物が撮像素子面で結像することのできる領域とF値の関係がわかる。なお,f=50 mm ,b=10 m, ε=1/60 mm,F=4とすると,Fεb/f2=0.27となることから,b=7.9 m,b+=13.7mとなり,手前側には2.1 m 奥側には3.7 m の範囲で合焦する。

図 被写界深度の説明図


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