被写界深度(Depth of Field)について,良くわかっていなかったので調べてみた。単なる幾何光学の練習問題だったので,大学入試問題に使えるかもしれない。
カメラのレンズ系を焦点距離 f の1枚の薄い凸レンズで近似する。レンズの中心を原点Oとする。レンズの回転対称軸を x 軸にとってカメラの撮像素子方向を正にとる。原点から x 軸上の撮影対象までの距離を b,撮影対象が結像する撮像素子面までの距離を a とする。このとき,次の関係が成り立つ。
1a+1b=1f
ところで,撮影対象の前後から出た光は,撮像素子面では厳密には結像しないが,実際にはセンサーの画素サイズ分の誤差 ε が許容される。撮像素子面上で,フルサイズセンサー(35mm)なら ε=1/30 mm,APS-Cやマイクロフォーサーズなら ε=1/60 mm の範囲は結像したものとみなすことができる。このとき x 軸上では,焦点深度 δ=Fε の許容幅があることになる。ただし絞り値(F値)は F= 焦点距離/有効口径である。
そこで,a±=a±δ を結像位置とする,撮影対象の x 軸上の点を b∓ と表すと,次式が成り立つ。
1a−+1b+=1f1a++1b−=1f
(1)(2)式から f を消去すると次式が得られる。
1b+−1b=1a−1a−1b−−1b=−1a++1a
ここで,a≫δ と近似し,(1)式を用いて,1a=b−fbf とすると,
1b±=1b∓δa2=1b∓δ(b−fbf)2
これから,b± は次のように求まる。最後の近似は,b≫fとした場合である。
b±b=11∓δb(b−ff)2∼11∓δb/f2=11∓Fεb/f2
これによって,対象物が撮像素子面で結像することのできる領域とF値の関係がわかる。なお,f=50 mm ,b=10 m, ε=1/60 mm,F=4とすると,Fεb/f2=0.27となることから,b−=7.9 m,b+=13.7mとなり,手前側には2.1 m 奥側には3.7 m の範囲で合焦する。
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