「オーバーシュート」の見分け方

新型コロナウイルス感染症対策本部は2020年1月30日に閣議決定により内閣官房に設置された。内閣総理大臣を本部長とし，官房長官や他の国務大臣が構成員である。その後3月26日に改めて，「新型インフルエンザ等対策特別措置法(平成24年法律第31号) 第15条第1項の規定に基づいて新型コロナウイルス感染症対策本部を設置した」とされた。

2月16日には，この対策本部のもとに，国立感染症研究所の脇田隆字所長を座長として医学・医療関係者からなる新型コロナウイルス感染症対策専門家会議が設置され第１回の会合が開かれている。なお，テレビでよくみかける感染症数理が専門の北海道大学の西浦博教授は座長が出席を求める関係者だった。

3月19日開催の第8回会議における「新型コロナウイルス感染症の対策の状況分析・提言」において，第1回から第7回までまったく登場していなかった「オーバーシュート」というキーワードが突如として次の文脈で デビューした（強調は筆者）。

特に，気付かないうちに感染が市中 に拡がり，あるときに突然爆発的に患者が急増(オーバーシュート(爆発的患者急増))す ると，医療提供体制に過剰な負荷がかかり，それまで行われていた適切な医療が提供でき なくなることが懸念されます。

SNSでは理系の人々を中心に違和感ありまくりでブーイングが起こっている。
　○オーバーシュートは指数関数的増大でなく過渡現象の振れ過ぎ部分を指すものだ。
　○爆発的患者急増はアウトブレイクというのではなかったのか（図１）。
　○手元の辞書にはそんな意味が載っていない。
　○何故一般向けにわかりにくい英語の専門用語を使うのか。
　○そもそもこれは学術専門用語ではない（日本環境感染学会用語集に存在しない）。
　○欧米の感染症情報にもほとんど出てこないしあってもまったく意味が違う。
　○指数関数的増大のどこからがオーバーシュートなのかわからない。

図１　outbreak(赤) と overshoot(青) の google serarch trend (30日)

上は世界全体，下は日本

それにもかかわらず，マスコミや政治家によってオーバーシュートは我が国に定着することになった。さすがにちょっと気が引けたのか，専門家会議は4月1日の専門家会議の後の会見で，オーバーシュートの定義を次のように説明することになった。

副座長の尾身茂氏（地域医療機能推進機構・理事長）は「オーバーシュートは欧米で見られるように爆発的な患者数の増加を示すが，2日ないし3日のうちに累積患者数が倍増し，しかもそのスピードが継続的にみられる状態を指すと私たちは定義した」と述べた。

実は，「医療提供体制に過剰な負荷がかかり，それまで行われていた適切な医療が提供できなくなる」ことが彼らの強調したいことであって，そのためにあえて新しい用語の選択によって注意喚起したのではないかとも推察できるが，これをグダグダいっても仕方がないので， 2から3日のうちに累積患者数が倍増しという定義を受け入れた場合のオーバーシュートの見分け方について考える。

前提として，SIR的なモデルを仮定し感染期間（感染者数の崩壊定数）を$\gamma$=5日とする。累積患者数は 新規感染数累計，$J(t)=\int_{0}^{t} I(t') dt'$のことであるとして，感染者数が非常に少ない状態から指数関数的に増大する場面を設定する。すでに基本的な関係式は下記参考資料で導出しているので，ここでは結果のみ整理する。時刻$t$日の$J(t)$に対する$\tau$日後の$J(t+\tau)$の比率を$r$とおく。なお，$R_0$は基本再生産数（あるいはその時点での実効再生産数）とする（図２）。
$$\begin{equation} \begin{aligned} r &= \dfrac{J(t+\tau)}{J(t)} = \dfrac{e^{\frac{R_0-1}{\gamma}(t+\tau)}-1}{e^{\frac{R_0-1}{\gamma} t}-1} =  \dfrac{e^{\frac{R_0-1}{\gamma}\tau}-e^{-\frac{R_0-1}{\gamma} t}}{1 - e^{- \frac{R_0-1}{\gamma} t}} \approx e^{\frac{R_0-1}{\gamma}\tau}\\ R_0 &= 1 + \dfrac{\gamma}{\tau} \log r \end{aligned} \end{equation}$$
① 3日で2倍すなわち$\tau=3, r=2$とすると，$R_0$=2.15となる。
② $R_0$=2.15の場合，7日で何倍かというと，$r=e^{7 * 1.15 /5}$=5.00倍になる。
③ 東京では，7日で3倍になっているので，$R_0$=1.78となる。

図２　1週間での$J(t)$の増倍率$r$と基本再生産数$R_0$

つまり，日次報告されている新規感染数累計（Confirmed）$J(t)$が 1週間で5倍程度になる状況が続けば，いわゆる「オーバーシュート」の状態であるということになる。東京ではこれが3倍程度でありそこまでは至っていない。欧州や以前の韓国や湖北省ではオーバーシュートの状態が生じていたが，現在は収まっており$r$も減少している。北米ではオーバーシュート近傍にあるが，$r$は減少傾向にある。日本や東京ではオーバーシュート状態ではないが，$r$は増加傾向にあって予断を許さない（下記の各国の感染者比で$r$を確認）。

$r$は比率なので，報告されている感染数の把握度が不十分であっても（見逃している感染数がかなり存在しているかもしれないとしても），把握度の時間依存性が大きくない限りこの結論には影響しない。

［１］新規感染数累計の増倍率（2020.3.31）
［２］倍加時間と基本再生産数（2020.3.29）
［３］基本再生産数と集団免疫率（2020.3.27）
［４］感染症の数理シミュレーション（８）（2020.3.15）
［５］各国の感染者比（２）（2020.3.12）
［６］各国の感染者比（１）（2020.3.10）
［６］感染症の数理シミュレーション（２）（2020.2.25）
［７］感染症の数理シミュレーション（１）（2020.2.24）