角運動量の合成への道（４）

（角運動量の合成への道（３）からの続き）

次に，スピン１の粒子の軌道角運動量$\boldsymbol{L}$とスピン角運動量$\boldsymbol{T}$の合成を考える。$\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{T}$であり，前回までの手順と同様に，$(\boldsymbol{J}^2, J_z) | J M \rangle = (J(J+1)\hbar^2, M\hbar ) | J M \rangle$ となる状態は，$| \ell m \rangle | t \rangle$ の線形結合で表されるとする。

（１）$J_z$を$| \ell m \rangle | t \rangle$に作用させる。
$J_z | \ell m \rangle | t \rangle = (m + t) \hbar  | \ell m \rangle | t \rangle = M  | \ell m \rangle | t \rangle$。したがって，$m=M-t$となる。

（２）$\boldsymbol{J}^2$を$| \ell M-t \rangle | t \rangle$に作用させる。
$$\begin{equation} \begin{aligned} (\boldsymbol{L}^2+\boldsymbol{T}^2+2L_zT_z &+L_{+}T_{-}+L_{-}T_{+})| \ell M-t \rangle | t \rangle \\ = & \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m-1)} \sqrt{2-t(t+1)}\ \hbar^2 | \ell m-1 \rangle | t+1 \rangle\\ + & (\ell(\ell+1)+2+2 m t )\ \hbar^2 | \ell m \rangle | t \rangle \\ + & \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m+1)}\sqrt{2-t(t-1)}\ \hbar^2   | \ell m+1 \rangle | t-1 \rangle \end{aligned} \end{equation}$$
ここで，$\boldsymbol{J}^2$の固有値を決める固有値方程式は次のようになる。
$$\begin{equation} \boldsymbol{J}^2 \sum_{t=-1}^1 \alpha_t  | \ell m-t \rangle | t \rangle = \lambda \sum_{t=-1}^1 \alpha_t  | \ell m-t \rangle | t \rangle \end{equation}$$
ここで$\ell(\ell+1)=j$, $m(m\pm 1)=\mu_{\pm}$と略記する。
$$\begin{equation} \begin{pmatrix}j+2m & \sqrt{2(j-\mu_{-})} & 0 \\ \sqrt{2(2(j-\mu_{-})} & j+2 & \sqrt{2(j-\mu_{+})}\\ 0& \sqrt{2(j-\mu_{+})}&j-2m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{+1} \\ \alpha_0 \\ \alpha_{-1}\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \alpha_{+1} \\ \alpha_0 \\ \alpha_{-1} \end{pmatrix} \end{equation}$$
この固有値方程式を解くと，$\lambda=(\ell+1)(\ell+2), \ell(\ell+1), \ell(\ell-1)$となる。
また，固有ベクトルの係数は，
$$\begin{array}{c|ccc}   \lambda  & \alpha_{+1} & \alpha_{0} & \alpha_{-1} \\   \hline  \ell(\ell-1) & \sqrt{\frac{(\ell-m)(\ell-m+1)}{2\ell(2\ell+1)}} & -\sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell-m)}{\ell(2\ell+1)}} & \sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell+m+1)}{2\ell(2\ell+1)}}  \\   \hline  \ell(\ell+1) & -\sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell-m+1)}{2\ell(\ell+1)}} & \sqrt{\frac{m}{\ell(\ell+1)}} &\sqrt{\frac{(\ell-m)(\ell+m+1)}{2\ell(\ell+1)}} \\  \hline  (\ell+1)(\ell+2) & \sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell+m+1)}{2(\ell+1)(2\ell+1)}} & \sqrt{\frac{(\ell+m+1)(\ell-m+1)}{(\ell+1)(2\ell+1)}} &\sqrt{\frac{(\ell-m)(\ell-m+1)}{2(\ell+1)(2\ell+1)}} \\   \hline \end{array}$$