角運動量の合成への道（４）

（角運動量の合成への道（３）からの続き）

次に，スピン１の粒子の軌道角運動量$\boldsymbol{L}$とスピン角運動量$\boldsymbol{T}$の合成を考える。$\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{T}$であり，前回までの手順と同様に，$(\boldsymbol{J}^2, J_z) | J M \rangle = (J(J+1)\hbar^2, M\hbar ) | J M \rangle$ となる状態は，$| \ell m \rangle | t \rangle$ の線形結合で表されるとする。

（１）$J_z$を$| \ell m \rangle | t \rangle$に作用させる。
$J_z | \ell m \rangle | t \rangle = (m + t) \hbar  | \ell m \rangle | t \rangle = M  | \ell m \rangle | t \rangle$。したがって，$m=M-t$となる。

（２）$\boldsymbol{J}^2$を$| \ell M-t \rangle | t \rangle$に作用させる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\boldsymbol{L}^2+\boldsymbol{T}^2+2L_zT_z &+L_{+}T_{-}+L_{-}T_{+})| \ell M-t \rangle | t \rangle \\
= & \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m-1)} \sqrt{2-t(t+1)}\ \hbar^2 | \ell m-1 \rangle | t+1 \rangle\\
+ & (\ell(\ell+1)+2+2 m t )\ \hbar^2 | \ell m \rangle | t \rangle \\
+ & \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m+1)}\sqrt{2-t(t-1)}\ \hbar^2   | \ell m+1 \rangle | t-1 \rangle
\end{aligned}
\end{equation}
ここで，$\boldsymbol{J}^2$の固有値を決める固有値方程式は次のようになる。
\begin{equation}
\boldsymbol{J}^2 \sum_{t=-1}^1 \alpha_t  | \ell m-t \rangle | t \rangle
= \lambda \sum_{t=-1}^1 \alpha_t  | \ell m-t \rangle | t \rangle
\end{equation}
ここで$\ell(\ell+1)=j$, $m(m\pm 1)=\mu_{\pm}$と略記する。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}j+2m & \sqrt{2(j-\mu_{-})} & 0 \\
\sqrt{2(2(j-\mu_{-})} & j+2 & \sqrt{2(j-\mu_{+})}\\
0& \sqrt{2(j-\mu_{+})}&j-2m \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \alpha_{+1} \\ \alpha_0 \\ \alpha_{-1}\end{pmatrix}
= \lambda \begin{pmatrix} \alpha_{+1} \\ \alpha_0 \\ \alpha_{-1} \end{pmatrix}
\end{equation}
この固有値方程式を解くと，$\lambda=(\ell+1)(\ell+2), \ell(\ell+1), \ell(\ell-1)$となる。
また，固有ベクトルの係数は，
\begin{array}{c|ccc}
  \lambda  & \alpha_{+1} & \alpha_{0} & \alpha_{-1} \\
  \hline
 \ell(\ell-1)
& \sqrt{\frac{(\ell-m)(\ell-m+1)}{2\ell(2\ell+1)}}
& -\sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell-m)}{\ell(2\ell+1)}}
& \sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell+m+1)}{2\ell(2\ell+1)}}  \\
  \hline
 \ell(\ell+1)
& -\sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell-m+1)}{2\ell(\ell+1)}}
& \sqrt{\frac{m}{\ell(\ell+1)}}
&\sqrt{\frac{(\ell-m)(\ell+m+1)}{2\ell(\ell+1)}} \\
 \hline
 (\ell+1)(\ell+2)
& \sqrt{\frac{(\ell+m)(\ell+m+1)}{2(\ell+1)(2\ell+1)}}
& \sqrt{\frac{(\ell+m+1)(\ell-m+1)}{(\ell+1)(2\ell+1)}}
&\sqrt{\frac{(\ell-m)(\ell-m+1)}{2(\ell+1)(2\ell+1)}} \\
  \hline
\end{array}