Juliaでパズル（１）

４つの同じ数字に演算をほどこして，１から順に整数を作るというパズルがある。
例えば，6÷6+6-6 = 1,　 6÷6+6÷6=2,　 (6+6+6)/6 = 3,　 などなど。
これを，Juliaの基本演算子や基本関数だけを使って実行してみると，

1　1+1-1*1
2　1+1-1+1
3　1+1*1+1
4　1+1+1+1
5　Int(floor(11/(1+1)))
6　Int(ceil(11/(1+1)))
7　Int(floor(exp(1*1+1*1)))
8　Int(ceil(exp(1*1+1*1)))
9　11-1-1
10　11-1*1
11　11+1-1
12　11+1*1
13　11+1+1
14　Int(ceil(sqrt(sqrt(exp(11)))-1-1))
15　Int(floor(exp(1+sqrt(1+1+1))))
16　Int(ceil(exp(1+sqrt(1+1+1))))
17　Int(floor(exp((1+1)*sqrt(1+1))))
18　Int(ceil(exp((1+1)*sqrt(1+1))))
19　Int(floor(exp(1+1+1)-1))
20　Int(floor(exp(1+1*1+1)))
21　Int(floor(exp(1+1+1)+1))
22　Int(ceil(exp(1+1+1)+1))
23　Int(floor(exp(sqrt(1+1)*cbrt(11))))
24　Int(ceil(exp(sqrt(1+1)*cbrt(11))))
25　Int(floor(exp(sqrt(11))-1-1))
26　Int(floor(exp(sqrt(11))-1*1))
27　Int(floor(exp(sqrt(11))+1-1))
28　Int(ceil(exp(sqrt(11))+1-1))
29　Int(ceil(exp(sqrt(11))+1*1))
30　Int(ceil(exp(sqrt(11))+1+1))
31　Int(floor(sqrt(sqrt(exp(11)))*(1+1)))
32　Int(floor(cbrt(exp(sqrt(111)))-1))
33　Int(floor(cbrt(exp(sqrt(111)))*1))
34　Int(floor(cbrt(exp(sqrt(111)))+1))
35　Int(ceil(cbrt(exp(sqrt(111)))+1))
36　Int(floor(exp(sqrt(11+1+1))))
37　Int(floor(cbrt(exp(11))-1-1))
38　Int(ceil(cbrt(exp(11))-1-1))
39　Int(ceil(cbrt(exp(11))-1*1))
40　Int(ceil(cbrt(exp(11))+1-1))
41　Int(ceil(cbrt(exp(11))+1*1))
42　Int(ceil(cbrt(exp(11))+1+1))
43　Int(floor(cbrt(sqrt(1+1)*exp(11))))
44　Int(ceil(cbrt(sqrt(1+1)*exp(11))))
45　Int(ceil(exp(cbrt(111)-1)))
46　Int(ceil(exp(sqrt(sqrt(11))+1+1)))
47　Int(ceil(sqrt(exp(11-sqrt(11)))))
などなど

（１）もし，ユーザ定義関数が使えるならば，任意の n に対して，すべての整数を作り出すことが簡単にできるのであった・・・

f(n1,n2,n3,n4)=Int(n1/n2+n3-n4)
f(n)=Int(ceil(n+1/n))

f(1,1,1,1)
1
f(f(1,1,1,1))
2
f(f(f(1,1,1,1)))
3

（２）juliaドキュメントの算術的演算と基本関数から主な演算と関数を選んで使うことにする。例えば，２項演算ならば，+, -, *, / の４種とする（ここでは，整数ゼロ除算をさけるために÷と%は含めない）。数字を２〜４桁並べる操作が必要なのでこれに対応する２項演算を１つ付け加えると５種になる。この２項演算は cc(a,b)=10*a+b で実現できる（例えば３桁並べるには，cc(cc(a, b), c)とすればよい），ただし適応できる位置に制限があることに注意する。次に単項演算を選ぶ。ここでは，+, sqrt(abs()), qbrt(abs()), exp(), log(abs()) の５種とする（+は恒等演算子）。

（３）４つの数字（a, b, c, d,  a = b = c = d）に対応する２項演算のパターンは５つある。
２項演算を（a, b）などで表し，ふつうのカッコの優先順位で計算するものとして，
（（a, b）,（c, d）），（（（a, b）, c）, d），（a,（b,（c,  d））），
（（a,（b, c））, d），（a,（（b, c）, d））の５パターンである。１パターンあたりの２項演算の数は３であるから，パターンあたりの総数は$5^3$通りである。

（４）上記の各数字や２項演算の結果に対して５種の単項演算を任意の階数だけ作用することができる。単項演算のエントリーポイントは１パターンにつき$n$個あるとする。単項演算子の種類を$m$個とし，エントリーポイントに$k$個まで入るならば，パターンあたりの配位の数は，$\sum_{j=0}^k  {}_{n+j-1}C_j m^k$となる。

したがって，この他に条件をつけなければ，総数で $5 \times 5^3 \times (5^k \dfrac{n^k}{k!}+\cdots) $個の式が得られる。これをしらみつぶしに調べるのだろうか・・・

（Juliaでパズル（２）に続く）