芥川龍之介が「蜘蛛の糸」を発表して百年。高二の秋の文化祭,クラスの仮装行列のテーマが 蜘蛛の糸だった。お釈迦様の極楽タワーの竹を近所から切り出し,地獄の焔と煙の絵を描いた。犍陀多に続いて蜘蛛の糸(登山部の赤いザイル)に群がる地獄の亡者だったころ。
2018年12月13日木曜日
素数生成式
オイラーが,$f_q(n)=n^2+n+q$という式に次のような性質があることを発見した(オイラーの素数生成式の秘密 tujimotterのノートブック)。ある特別な数$q$に対して,変数(引数)として連続した整数$n$を代入すると,$q-1$個の式の値 $f_q(0), f_q(1), \cdots f_q(q-2)$ がすべて素数になるというのである。ここで,特別な数とは,$q=2,3,5,11,17,41$である。例えば,$f_5(0)=5○,\ f_5(1)= 7○, \ f_5(2)=11○,\ f_5(3)=19○,\ f_5(4)=25×$ なるほどね。
他にも,1変数の簡単な多項式で連続した整数を代入した値がすべて素数を与えるものがあるというので調べてみると,O. Cira, F. Smarandache の "Various Arithmetic Functions and their Applications(2016)"に行き着いた。今年 Ver 1.0を迎えて注目の(?)プログラミング言語 julia で確認してみた。
using Primes
function euler(n)
local p1,p2,p3::Int64
#arXiv:1603.08456v1 O. Cira and F. Smarandache (2016)
#Euler...40primes
p1=abs(n^2-n+41)
#Fung, Ruby...45primes
p2=abs(36n^2-810n+2753)
#Laudreu, Gupta...57primes
p3=abs((n^5-133n^4+6729n^3-158379n^2+1720294n-6823316)/4)
(n,p3,isprime(p3))
end
for k=0:60
println(euler(k))
end
結果は
(0, 1705829, true)
(1, 1313701, true)
(2, 991127, true)
(3, 729173, true)
(4, 519643, true)
(5, 355049, true)
.....
(50, 1404721, true)
(51, 1707499, true)
(52, 2071373, true)
(53, 2505127, true)
(54, 3018307, true)
(55, 3621251, true)
(56, 4325119, true)
(57, 5141923, false)
(58, 6084557, false)
(59, 7166827, true)
(60, 8403481, true)
そだね〜。
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