円筒電荷分布の電場（１）からの続き
直感的な説明はできた（と思う）ので，次に積分を真面目に計算してみる。
z軸を対称軸とする半径Rの円筒に，面密度σの電荷が一様に分布している。x軸上の点Pは座標(r,0,0)であり，この点における電場を計算しようというわけだ。このためには円筒面上のすべての電荷素片がP点に作る電場を重ね合わせればよい。
いま，円筒面上に点Qをとり，その近傍の電荷素片はσRdθdzの電荷を持っている。なお，θは電荷素片をx−y平面に射影した点とx軸のなす角度である。この点Qの座標は，(Rcosθ,Rsinθ,z)である。そこで電場の式は次のようになる。
\bm{E}(P) = \dfrac{ \sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^{ 2\pi} \dfrac{(r-R \cos \theta , - R \sin \theta , -z)}{(r^2-2 r R \cos \theta + R^2 + z^2 )} R d \theta dz
ここで，z軸方向の対称性からP点でのE_zは0，y軸方向の対称性からP点でのE_yも0となる。さらに，x軸方向の電場は，\theta = 0 \sim \piと\theta = \pi \sim 2 \piで同じ寄与となるので，片方を計算して2倍すれば良い。つまり，E_xだけが残っていて，
E_x(P) = \dfrac{2 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{(r^2-2 r R \cos \theta + R^2 + z^2)^{3/2}}
ここで，s^2=r^2 - 2 r R \cos \theta + R^2，z=s \tan \phi として，変数zを\phiに書き換えると，\begin{equation*} \begin{aligned} E_x(P) &= \dfrac{2 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{- \pi / 2}^{ \pi / 2} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{s^3 (1 + \tan^2 \phi )^{3/2} } d \theta \dfrac{s d \phi}{\cos^2 \phi} \\ &= \dfrac{2 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{- \pi / 2}^{ \pi / 2} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{s^2} d \theta \cos \phi d \phi \\ &= \dfrac{4 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{s^2} d \theta \end{aligned} \end{equation*}
さらに，\tan \theta/2 = t とおいて有理関数の積分にする。このとき，d\theta = \frac{2 dt}{1 + t^2}，\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}であるから，
\begin{equation*} \begin{aligned} E_x(P) &= \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \int_0^\infty \dfrac{r -R \frac{1-t^2}{1+t^2}}{r^2 - 2 r R \frac{1-t^2}{1+t^2} + R^2 } \dfrac{2 dt}{1+t^2} \\ &= \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \int_0^\infty \dfrac{r (1 + t^2) -R (1 - t^2)}{(r^2 + R^2)(1 + t^2) -2 r R (1 - t^2) } \dfrac{2 dt}{1 + t^2} \\ &= \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r} \int_0^\infty \Bigl\{ \dfrac{1}{1+t^2} - \dfrac{R^2 - r^2}{(R-r)^2 + (R+r)^2 t^2} \Bigr\}dt \\ &= \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r} \Bigl[ \tan^{-1} t - \tan^{-1} \frac{R+r}{R-r} t \Bigr]_0^\infty dt\end{aligned} \end{equation*}
したがって，R>rの場合は， E_x(P) =0，R<rの場合は， E_x(P) =\dfrac{\sigma R}{\varepsilon_0 r}= \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}となる。\lambda=2\pi \sigma Rは円筒の線電荷密度である。
図：円筒電荷分布がP点に作る電場
