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2021年9月12日日曜日

ボールウェイン積分

犬も歩けば 面白い式にあたる。ボールウェイン積分というものだ。sinc関数を,sinc(x)=sinxx(x0)sinc(0)=1 と定義して,次の積分を考える。

BWn=0nk=1sinc(x2k1)dx

ことき,BW1=BW2==BW7=π2なのだが,n8では,BW8=935615849426881477393075728938935615849440640907310521750000π2などとなって,ほんのわずかだけずれてしまうというものだ。

下記にフーリエ変換を使った丁寧な証明や説明がある。

Mathematicaを使って確かめてみるとこんな感じ。
In[1]:= Integrate[Sinc[x], {x, 0, Infinity}]
Out[1]:= \[Pi]/2
In[2]:= BW[n_] := Integrate[Product[Sinc[x/(2 k - 1)], {k, 1, n}], {x, 0, Infinity}]
In[3]:= Timing[Table[BW[i], {i, 1, 8}]]
Out[3]:= {21.0407, {\[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/ 2, \[Pi]/2, (467807924713440738696537864469 \[Pi])/ 935615849440640907310521750000}}

[1]Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals(D. Borwein, J. M. Borwein)
[2]Two curious integrals and a graphic proof(S. Hanspeter)
[3]Borwein積分(黒木玄)

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