円筒電荷分布の電場（２）

円筒電荷分布の電場（１）からの続き

 直感的な説明はできた（と思う）ので，次に積分を真面目に計算してみる。

$z$軸を対称軸とする半径$R$の円筒に，面密度$\sigma$の電荷が一様に分布している。$x$軸上の点Pは座標$(r,0,0)$であり，この点における電場を計算しようというわけだ。このためには円筒面上のすべての電荷素片がP点に作る電場を重ね合わせればよい。

いま，円筒面上に点Qをとり，その近傍の電荷素片は$\sigma R d\theta dz$の電荷を持っている。なお，$\theta$は電荷素片を$x-y$平面に射影した点と$x$軸のなす角度である。この点Qの座標は，$(R \cos \theta , R \sin \theta , z)$である。そこで電場の式は次のようになる。

$\bm{E}(P) = \dfrac{ \sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^{ 2\pi} \dfrac{(r-R \cos \theta , - R \sin \theta ,  -z)}{(r^2-2 r R \cos \theta + R^2 + z^2 )} R d \theta dz$

ここで，$z$軸方向の対称性からP点での$E_z$は0，$y$軸方向の対称性からP点での$E_y$も0となる。さらに，$x$軸方向の電場は，$\theta = 0 \sim \pi$と$\theta = \pi \sim 2 \pi$で同じ寄与となるので，片方を計算して2倍すれば良い。つまり，$E_x$だけが残っていて，

$E_x(P) = \dfrac{2 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{(r^2-2 r R \cos \theta + R^2 + z^2)^{3/2}}$

ここで，$s^2=r^2 - 2 r R \cos \theta + R^2$，$z=s \tan \phi$ として，変数$z$を$\phi$に書き換えると， $$\begin{equation*} \begin{aligned} E_x(P) &= \dfrac{2 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{- \pi / 2}^{ \pi / 2} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{s^3  (1 + \tan^2 \phi )^{3/2} } d \theta \dfrac{s d \phi}{\cos^2 \phi}  \\  &=  \dfrac{2 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{- \pi / 2}^{ \pi / 2} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{s^2} d \theta \cos \phi d \phi  \\ &=  \dfrac{4 \sigma R}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^\pi \dfrac{r -R \cos \theta}{s^2} d \theta  \end{aligned} \end{equation*}$$

さらに，$\tan \theta/2 = t$とおいて有理関数の積分にする。このとき，$d\theta = \frac{2 dt}{1 + t^2}$，$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$であるから，

$$\begin{equation*} \begin{aligned} E_x(P) &= \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \int_0^\infty \dfrac{r -R \frac{1-t^2}{1+t^2}}{r^2 - 2 r R \frac{1-t^2}{1+t^2} + R^2 } \dfrac{2 dt}{1+t^2}  \\  &=  \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \int_0^\infty \dfrac{r (1 + t^2) -R (1 - t^2)}{(r^2 + R^2)(1 + t^2) -2 r R (1 - t^2) } \dfrac{2 dt}{1 + t^2}  \\ &=  \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r} \int_0^\infty \Bigl\{ \dfrac{1}{1+t^2} - \dfrac{R^2 - r^2}{(R-r)^2 + (R+r)^2 t^2} \Bigr\}dt \\ &=   \dfrac{\sigma R}{\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r}  \Bigl[ \tan^{-1} t  - \tan^{-1} \frac{R+r}{R-r} t \Bigr]_0^\infty  dt\end{aligned} \end{equation*}$$

したがって，$R>r$の場合は，$E_x(P) =0$，$R<r$の場合は，$E_x(P) =\dfrac{\sigma R}{\varepsilon_0 r}= \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$となる。$\lambda=2\pi \sigma R$は円筒の線電荷密度である。

図：円筒電荷分布がP点に作る電場