平均自由行程（１）

ラジオメーター（２）からの続き

平均自由行程の式は，$\lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2} \rho \sigma}$とした，$\rho$は気体分子密度，$\sigma$は気体分子の衝突断面積である。で，$\sqrt{2}$がどこから出てきたのかは，簡単そうな難しそうな話だった。

固定された分子群に平均速度$v$の粒子が進んでいるとき，単位時間当たり，長さ直径$d$の円筒内の分子とは衝突することができる。静止している気体分子密度が$\rho$なので，単位時間当たりの衝突回数は，$n=\rho \pi d^2 v$である。そこで一回当たりに進む距離は，$\dfrac{v}{n}=\dfrac{1}{\rho \pi d^2} = \dfrac{1}{\rho \sigma}$となる。ただし，衝突断面積は $\sigma = \pi d^2$である。

簡単そうな話では次のようになっている。全ての粒子が動いている場合，衝突する2分子の速度ベクトルを$\bm{v}$と$\bm{v}'$とすると，相対速度ベクトルは，$\bm{u}=\bm{v}-\bm{v}'$となり，$u=|\bm{u}|$の平均値を先ほどの$v$に当てはめる必要がある。そこで，$\overline{\bm{u}^2}=\overline{\bm{v}^2}-2\overline{\bm{v}\cdot\bm{v}'}+\overline{\bm{v}'^2}$より，$u^2=v^2+v^2$となる。先ほどの$v$は$u=\sqrt{2} v$に置き換えられるから，$\sqrt{2}$があらわれる。ただし，速度ベクトルの相対的な向きはランダムであるとして，$\overline{\bm{v}\cdot\bm{v}'}$=0を用いた。

実のところはもう少し複雑な計算が必要らしいが，その前提として気体分子速度のマクスウェル・ボルツマン分布が必要なのかどうか。混合気体のマクスウェル・ボルツマン分布はどうなるかなど疑問が続く。

［１］衝突頻度と平均自由行程（山崎勝義）