平均自由行程(1)からの続き
クラウジウスは,衝突する気体分子の速度は一定だが,相対速度の方向は一様に分布しているとして,平均自由行程の式を導いている。正確にはその速度分布まで含めた考察が必要になるが,とりあえず方向についての平均を考える。
平均自由行程は,分子の相対速度の大きさ⟨u⟩を単位時間当たりの衝突回数zで割ったものであるが,相対速度(u=v−v′)の大きさの向きによる平均値は次のようになる。
⟨u⟩=2π∫π0√v2+v′2−2vv′cosθ sinθdθ2π∫π0sinθdθ=12∫1−1√v2+v′2−2vv′t dt
\therefore \langle u \rangle = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \dfrac{1}{-2 v v'} \Bigl | (v^2+{v'}^2 -2 v v' t)^{3/2} \Bigr |_{-1}^1 = \dfrac{1}{6 v v'} \Bigl\{ |v+v'|^3 - |v-v'|^3 \Bigr\}
ここでv=v'とすれば, \langle u \rangle = \dfrac{4}{3} v となり,クラウジウスの平均自由行程は,\lambda = \dfrac{1}{\frac{4}{3} \rho \sigma }
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