f(n,x)=Σn−1k=0xk=1+x+x2+x3+⋯xn−1は因数分解できるかというものだ。結論は,nが素数の場合は因数分解できないが,それ以外なら因数分解できる。
g(n,x)=(1−x)f(n,x)=1−xnとする。nが素数でなければ n=ab などのように自然数aとbの積で表わすことができる。つまり,g(n,x)=1−xab であるから,X=xa とおいて,g(n,x)=1−Xb=(1−X)(1+X+X2+⋯+Xb−1)
=(1−x)(1+x+x2+⋯+xa−1)(1+X+X2+⋯+Xb−1)
となる。つまり与式は,f(n,x)=g(n,x)1−x=(1+x+x2+⋯+xa−1)(1+X+X2+⋯+Xb−1)と因数分解できる。
問題は,nが素数の場合であって,これはどうしたものかと調べてみると,アイゼンシュタインの既約判定定理というものがあった。その内容は以下の通り。
P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯a1x+a0を整数係数の多項式とする。
ある素数 pが存在して,次の条件が満たされるとする。
・i≠nの場合,aiはpで割り切れる。
・anはpで割り切れない。
・a0はp2で割り切れない。
このとき,P(x)は係数が有理数の範囲でこれ以上因数分解できない。
ある素数 pが存在して,次の条件が満たされるとする。
・i≠nの場合,aiはpで割り切れる。
・anはpで割り切れない。
・a0はp2で割り切れない。
このとき,P(x)は係数が有理数の範囲でこれ以上因数分解できない。
全ての係数 ai=1でn=p−1(pは素数)という多項式,P(x)=xp−1+xp−2+⋯x+1=xp−1x−1を考える。そこでは,P(x+1)=pCpxp−1+pCp−1xp−2+⋯pC2x+pC1となる。an=ap−1=pCp=1 はpで割り切れない。ai=pCi (i=1⋯n−1)はpで割り切れる(*)。a0=pC1=pはp2で割り切れないので,因数分解はできない。
(*) an−1=pCp−1=p,an−2=pCp−2=p(p−1)2!,an−3=pCp−3=p(p−1)(p−2)3!,・・・である。 pは素数なので,mod(p−1,2)=0,mod((p−1)(p−2),3)=0などから,1p pCiは整数となり,ai=pCi (i=1⋯n−1)はpで割り切れる。
[1]アイゼンシュタインの定理(高校数学の美しい物語)
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