判別式（２）

判別式（１）からの続き

図：Geminiが考えたイメージの修正版

たまには自分で考えないとますます脳が衰えていきそうなので，3次方程式の判別式の自力での導出を試みる。シルベスター行列式の計算に帰着させてしまうと，なんのことかわからなくなるので，判別式の定義と解と係数の関係からごりごり計算しようというわけだ。

（注：Mathematicaなら，Discriminant[a x^3 + b x^2 + c x + d, x] だけであっという間に解決してしまう話だ。）

$ f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a x^3 + b x^2 + c x + d = a (x-\alpha) (x - \beta) (x - \gamma)$

とすると，解と係数の関係は次のようになる。$\alpha, \beta, \gamma$の基本対称式だ。

$\quad \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$\quad \alpha  \beta + \beta  \gamma + \gamma  \alpha = -\frac{b}{a}$

$\quad \alpha  \beta  \gamma = -\frac{d}{a}$

判別式は，$D_3 = a^4 (\alpha - \beta )^2 (\beta - \gamma )^2 (\gamma - \alpha )^2 $ であり，これは完全対称式なので，基本対称式を使って表現できる。

（注：Mathematicaなら，SymmetricReduction[(x - y) (y - z) (z - x), {x, y, z}, {e1, e2, e3}]などになる。そう，二乗は不要だと考えた自分が浅はかだった。これは完全対称式ではないので，おつりがでてくる。）

考え方としては，すべての基本対称式の組み合わせで，$D_3$になる可能性を列挙し，それぞれに係数を割り当てて恒等式からその係数を決めるというロジックだ。最初は，特定の解を0にするとか，重解を選ぶとかして計算が簡単にならないかと考えたが，結局よけい面倒なことになりそうなので，真面目にやるつもりが・・・

$D_3$ は全体で6次式，特定の解の最高次数は4次になる。その条件から例えば，$\alpha^6, \alpha\5$を導く組み合わせは落とす。5個の係数  $p_1, \cdot , p_5$が必要になって，$\alpha $の4次式だと思えば，条件も5つだからなんとかなりそうだ。

$p_1* (\alpha + \beta + \gamma)^3 \alpha \beta \gamma $

$p_2* (\alpha + \beta + \gamma)^2 (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 $

$p_3* (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) \alpha \beta \gamma $

$p_4* (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^3 $ 

$p_5* (\alpha \beta \gamma)^2 $

話をここまで整理するのにだいぶ迷ったが，その後の実際の手計算のところで挫折した。しかたがないので，Mathematicaの Collect[eq, {a,b,c}]を使って恒等式を整理すると，すべての係数が求まった。ただし，$eq = \sum_{i=1}^5 p_i  (基本対称式の積) - D_3$

$p_1 = -4, p_2 = 1, p_3 = 18, p_4 = -4, p_5 = -27$ 

そこから，解と係数の関係を用いると，

$D_3 = -4 b^3 d + b^2 c^2 + 18 a b c d -4 a c^3 -27 a^2 d^2 $

めでたしめでたし。