三項間漸化式（２）

三項間漸化式（１）・リュカ数列からの続き

金沢泉丘高校では数学の授業が数甲と数乙に分かれていて，それぞれ別の先生が担当されていた。結局，松川先生（マッチのお父さん）と楠先生（あだ名はパチ）と西野先生（近所にお住まい）の組み合わせだった。楠先生も西野先生もなんだか女子生徒に人気があった。

ちょっとこわもて風の西野先生は，教科書を使わずに独自の解法をたんたんと説明していくのだった。そのなかに数列の漸化式の話があったはずだけれど，漸化式をずらっと並べて総和をとる方法だけ何となく印象に残っていた。今回，一般式をあれこれいじっているとその修正版が登場した。もしかしたら習っていたかも知れないけれど，そこはちょっと記憶になかった。

①漸化式は次のとおりである。$a_n= p a_{n-1} - q a_{n-2}\quad (n \ge 2)$ ここで，$p,\ q$ および$a_0$と$a_1$は与えられている。これから一般項$a_n$を求めたい。

②①の漸化式を次のように変形する。$a_n - \alpha a_{n-1} = \beta (a_{n-1} - \alpha a_{n-2}) \quad ( n \ge 2)$ ただし，$\alpha + \beta = p \quad \alpha \beta = q $から $t^2 - p t + q = 0 $という$t$の二次方程式の解が，$\alpha と \beta$ であり，重解の場合と2通りの別解の場合の可能性がある。

③$b_n \equiv a_n - \alpha a_{n-1}$と定義すると，②の式は $b_n = \beta b_{n-1}\quad (n \ge 2)$となる。$b_1=a_1 - \alpha a_0$ も与えられるので，$b_n = \beta^{n-1} b_1 \quad (n \ge 2)$と解ける。

④これから次の一連の式が出てくることになる。

$ \quad \ \ a_n \ \ - \alpha a_{n-1} \  \ = \quad \ \beta^{n-1} \ b_1 \quad (n \ge 1)$

$ \ \alpha \ ( a_{n-1} - \alpha a_{n-2}  )= \ \alpha \beta^{n-2} \ b_1 \quad (n \ge 2)$

$ \alpha^2 ( a_{n-2} - \alpha a_{n-3}  )= \alpha^2 \beta^{n-3} \ b_1 \quad (n \ge 3)$

$\quad \quad \cdots$

$ \alpha^{n-1} ( a_1 \ - \ \alpha a_0  )\ =\  \alpha^{n-1} \beta^0 \ b_1 $

これを辺々すべてたしあわせると，

$\displaystyle a_n - \alpha^n a_0 = \sum_{k=1}^n \alpha^{k-1} \beta^{n-k}\ b_1 = \beta^{n-1}\ b_1 \sum_{k=1}^n \Bigl( \dfrac{\alpha}{\beta} \Bigr)^{k-1} = \beta^{n-1}\ b_1 S_n$

⑤したがって，$a_n = a_0 \alpha^n + b_1 \beta^{n-1} S_n = a_0 \alpha^n + (a_1 - \alpha a_0) \beta^{n-1} S_n$

⑥ (1) $\alpha= \beta$の場合： $S_n=n$　$\therefore a_n = a_0 \alpha^n (1-n) + a_1 \alpha^{n-1} n$

　 (2) $\alpha \neq \beta$の場合： $\displaystyle S_n = \dfrac{\beta^n-\alpha^n}{\beta - \alpha}$　$\displaystyle \therefore a_n = \dfrac{\alpha \beta (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1})}{\beta - \alpha} a_0 + \dfrac{\beta^n - \alpha^n}{\beta - \alpha} a_1$

（例）フィボナッチ数の場合（$a_0=1,\ a_1=1 \quad \beta = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \ \alpha = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$）

$\displaystyle  a_n=\dfrac{\beta \alpha^n - \alpha \beta^n}{\beta - \alpha} \cdot 1 + \dfrac{\beta^n - \alpha^n}{\beta - \alpha} \cdot 1 = \alpha^n \dfrac{\beta -1}{\beta - \alpha} + \beta^n \dfrac{1-\alpha}{\beta - \alpha}$

　$= \frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl\{ \alpha^n \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} + \beta^n \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr\} = \frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl\{ \bigl( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr) ^{n+1} - \bigl( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\bigr)^{n + 1} \Bigr\} $