錦秋文楽公演2021（２）

 錦秋文楽公演2021（１）からの続き

久しぶりに1日3部通して観劇の日（11:00-20:00）。10月31日が初日で，2日目の月曜日は平日なのでお客さんは少ない。二，三割くらいの入りだろうか。それにしては座席の割り振りがよろしくなく疎密のアンバランスが気になる。ウェブ上の予約システムを改修するだけの予算がないのだろう。

定年後は以前のように国立文楽劇場の定期公演をぜんぶ見るということは無くなったが，コロナのせいでさらに足が遠のいていた。今回は，まだ見ていない段のある蘆屋道満大内鑑とひらかな盛衰記の組み合わせが良かったので，早速予約したのだ。しかし，三分の一くらいは夢うつつだった。

第一部：「葛の葉子別れの段」の咲寿太夫は高音の発声で言葉もはっきりしていて聞きやすい。奥の竹澤宗助の三味線は丁寧な音がすごいなあ，安心して聞いていられる。道行の「蘭菊の乱れの段」は，狐の葛の葉が踊っているのだけれど，もう一つピンとこないのであった。これもできれば通しに近い構成で見たい。

第二部：ひらかな盛衰記の「逆櫓の段」は何度か見ているけれど，「大津宿屋の段」と「笹引きの段」から「松右衛門内の段」とつながることで，ようやく物語の意味とイメージがわかってきた。子どもの取り違えが起因する話だったのね。靖太夫は残念ながら声が出ていなかった。あるいはそうでなかったのかもしれないけれど，そのころは既にこちらが夢の中だった。一方，呂太夫は今日はよく声が出ていたし，清介の力強いバチ捌きとあいまって，感情表現がなかなか良かった。なお，睦太夫と清志郎も頑張っていたのではないでしょうか。

第三部：「辻法院の段」のようなチャリ場が藤太夫には似合う。さて，「神崎揚屋の段」は今回が初めてだった。千歳太夫と富助という安定したペアのおかげで，勘十郎の梅ヶ枝が苦悩するストーリーに没入することができたけれど，これは大変良かったですね。梶原源太の困ったちゃんの男性像との対比も今風で面白いし。そういえば，「神崎揚屋の段」は橋本治プロデュースの竹本駒之助のDVDを持っていたのだった。

写真：国立文楽劇場錦秋文楽公演2021のポスター

錦秋文楽公演2021（１）

   寝る前のNHK開票速報では，自民党過半数割れか？だったはずなのに，朝起きて11月になると，自民党安定多数，維新4倍に，立憲共産惨敗ということだった。野党共闘は1:1の選挙区では確かに効果を発揮したが，1:1:1の場合はそうではなかった。

維新的なムードは洗脳TVが支配する大阪や関西エリアだけではなく，全国にジワリと浸透している。おまけに国民民主と維新の合同会派話が持ち上がり，こうなると改憲勢力は自民261＋公明32＋維新41＋国民11＝345であり，楽々と2/3=315を超えているのだった（もちろん国民民主がなくてもだけれど）。こうなると，立憲民主からぼろぼろと崩れ落ちる層が出てくる。維新のような右翼ポピュリズムに対抗するには，れいわのような左翼ポピュリズムを持ってくるしかないのかも。

制度疲労による日本の没落を埋めるのが，一億総非正規化や，公共資産・サービスの民間・外資への切り売り，これが，改憲後に力をさらに増す差別的な右翼イデオロギーと戦争準備経済に支えながら進行するという目も当てらない状況が出現しそうだ。戦後蓄積してきた経済・文化資産はあっという間に消尽されていく。

金木犀香る晩秋の晴れの日，気落ちしながら，久々に維新政権の下でまだかろうじて開かれている文楽公演へと向かうのだった。街は賑わっており，横断歩道は剥げていなかったがペイントされた幅は狭くなっていたかもしれない。

平均自由行程（２）

 平均自由行程（１）からの続き

クラウジウスは，衝突する気体分子の速度は一定だが，相対速度の方向は一様に分布しているとして，平均自由行程の式を導いている。正確にはその速度分布まで含めた考察が必要になるが，とりあえず方向についての平均を考える。

平均自由行程は，分子の相対速度の大きさ$\langle u \rangle$を単位時間当たりの衝突回数$z$で割ったものであるが，相対速度（$\bm{u}=\bm{v}-\bm{v}'$）の大きさの向きによる平均値は次のようになる。

$\langle u \rangle = \dfrac{2\pi \int_0^\pi \sqrt{v^2 + {v'}^2 - 2 v v' \cos \theta }\ sin\theta d\theta}{2\pi \int_0^\pi sin\theta d\theta} = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \sqrt{v^2 + {v'}^2 - 2 v v' t} \ dt$

$\therefore \langle u \rangle = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \dfrac{1}{-2 v v'} \Bigl | (v^2+{v'}^2 -2 v v' t)^{3/2} \Bigr |_{-1}^1 = \dfrac{1}{6 v v'} \Bigl\{ |v+v'|^3 - |v-v'|^3 \Bigr\}$

ここで$v=v'$とすれば， $\langle u \rangle = \dfrac{4}{3} v$となり，クラウジウスの平均自由行程は，$\lambda = \dfrac{1}{\frac{4}{3} \rho \sigma }$

マクスウェル分布

平均自由行程の計算にはやはり気体分子速度のマクスウェル分布が必要かもしれない。これは，気体分子運動論でもボルツマン統計（正準集団）の一般論からも求められる。ここでは前者についてまとめる。

ある領域内のN個の気体分子が速度 $\bm{v} \sim \bm{v} + d\bm{v}$にある確率を$P(\bm{v})$とし，それが速度分布関数$F(\bm{v})$によって，$P(\bm{v}) = F(\bm{v}) d\bm{v}$ で与えられるとする。このとき，$\int P(\bm{v}) d\bm{v} = 1$であり，物理量 $Q(\bm{v})$の期待値は，$\langle Q \rangle = \int  Q(\bm{v}) P(\bm{v}) d\bm{v}$となる。

ここで，速度の独立性と等方性を仮定すると，$F(\bm{v}) = f(v_x) f(v_y) f(v_z) = F(v^2)$ となる。すなわち，各成分の速度分布関数は共通の関数形の$f(v_i)$で与えられるとともに，$F(\bm{v})$は，速度ベクトルの二乗 $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$の関数となる。

先の式の両辺を$v_x$で微分すると，$F'(v^2) 2v_x = f'(v_x) f(v_y) f(v_z) = \dfrac{f'(v_x) }{f(v_x)} F(v^2)$となる。したがって，$\dfrac{F'(v^2) }{F(v^2)} = \dfrac{f'(v_x) }{2 v_x f(v_x)}=-\alpha$となる。最初の等式の両辺は異なった変数の関数なので，その値は定数でなければならず，それを$-\alpha$とおいた。

この微分方程式を解くと，$F(v^2)=A e^{-\alpha v^2}，f(v_x)=A_x e^{-\alpha v_x^2}$となる。規格化のための積分をすると，$4\pi \int_0^\infty A e^{-\alpha v^2} v^2 dv = A\bigl( \dfrac{\pi}{\alpha}\bigr) ^{3/2} =1$となるので，$A=\bigl( \dfrac{\alpha}{\pi} \bigr) ^{3/2}$。したがって，$P(\bm{v}) = \bigl( \dfrac{\alpha}{\pi} \bigr) ^{3/2} e^{-\alpha v^2}$

気体分子の運動エネルギーの平均値が，$\int \dfrac{m v^2}{2} P(\bm{v}) d\bm{v} = \frac{3}{2}k_B T$となることから，$\dfrac{m}{2}\bigl( \dfrac{\alpha}{\pi} \bigr) ^{3/2}\dfrac{3}{2\alpha}\bigl( \dfrac{\pi}{\alpha} \bigr) ^{3/2} = \dfrac{3}{2}k_B T$。したがって，$\alpha = \dfrac{m}{2 k_B T}$であり，$F(v^2) = \Bigl( \dfrac{m}{2\pi k_B T} \Bigr) ^{3/2}  e^{-\frac{m v^2}{2 k_B T}}$

25℃1気圧の窒素気体の平均速度は$\langle v \rangle =\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}= 475 {\rm m/s}$，平均自由行程は$9.3 \times 10^{-8} {\rm m}$である。

図：マクスウェル分布の概形

立体角

 平均自由行程を考えるために色々試行錯誤していたら，立体角の計算が必要になった。球の外側にある点から球を見込む立体角である。図のように，半径$a$の球の中心${\rm Q}$から，$\overline{\rm PQ}=\ell (>a)$の距離に点${\rm P}$をとる。

${\rm P}$から球を見込んだ時の球との接円が$x-y$平面にできるとする。接円と$y$軸の交点を${\rm A, B}$とすると，$\overline{\rm PA} = \overline{\rm PB} = \sqrt{\ell^2-a^2}$となる。

立体角$\Omega$は次の積分で与えられる。$\Omega = \int_0^{2\pi} \int_{\pi/2}^{\pi/2+\alpha} \sin\theta d\theta d\phi = 2\pi [-\cos \theta]_{\pi/2}^{\pi/2 + \alpha} = 2\pi \sin \alpha$ 。ただし，$\alpha = \angle {\rm QPA}$であり，$\sin \alpha = \frac{a}{\ell}$。

図：球を見込む立体角

平均自由行程（１）

ラジオメーター（２）からの続き

平均自由行程の式は，$\lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2} \rho \sigma}$とした，$\rho$は気体分子密度，$\sigma$は気体分子の衝突断面積である。で，$\sqrt{2}$がどこから出てきたのかは，簡単そうな難しそうな話だった。

固定された分子群に平均速度$v$の粒子が進んでいるとき，単位時間当たり，長さ直径$d$の円筒内の分子とは衝突することができる。静止している気体分子密度が$\rho$なので，単位時間当たりの衝突回数は，$n=\rho \pi d^2 v$である。そこで一回当たりに進む距離は，$\dfrac{v}{n}=\dfrac{1}{\rho \pi d^2} = \dfrac{1}{\rho \sigma}$となる。ただし，衝突断面積は $\sigma = \pi d^2$である。

簡単そうな話では次のようになっている。全ての粒子が動いている場合，衝突する2分子の速度ベクトルを$\bm{v}$と$\bm{v}'$とすると，相対速度ベクトルは，$\bm{u}=\bm{v}-\bm{v}'$となり，$u=|\bm{u}|$の平均値を先ほどの$v$に当てはめる必要がある。そこで，$\overline{\bm{u}^2}=\overline{\bm{v}^2}-2\overline{\bm{v}\cdot\bm{v}'}+\overline{\bm{v}'^2}$より，$u^2=v^2+v^2$となる。先ほどの$v$は$u=\sqrt{2} v$に置き換えられるから，$\sqrt{2}$があらわれる。ただし，速度ベクトルの相対的な向きはランダムであるとして，$\overline{\bm{v}\cdot\bm{v}'}$=0を用いた。

実のところはもう少し複雑な計算が必要らしいが，その前提として気体分子速度のマクスウェル・ボルツマン分布が必要なのかどうか。混合気体のマクスウェル・ボルツマン分布はどうなるかなど疑問が続く。

［１］衝突頻度と平均自由行程（山崎勝義）

ラジオメーター（２）

 ラジオメーター（１）からの続き

実験的な事実として，ラジオメーターの羽根車が一番よく回転するのは，1Paぐらいの圧力の場合であり，高真空では回転しない。これから，光の放射圧が原因ではないといえる。また，紫外線や白色LEDライトではあまり回転せず，熱を持つハロゲンランプや蝋燭ではよく回転する。さらに，ガラス面に接触した掌でもわずかに回転することやガラス面を冷却すると逆回転することから，赤外線の吸収や放出による残留気体の熱効果であることがわかる。

つまり，羽根車面の色の違いから生ずる温度勾配による内部の残留気体の運動が回転の原因ということになる。それでは，これを記述するのは流体力学の基礎方程式なのか，気体分子運動論の基礎方程式なのか。これを判定するのがクヌーセン数 $K_n$になる。

$K_n = \dfrac{\lambda}{L} = \dfrac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P L}$

ここで，$\lambda$は平均自由行程，$k_B, T, P$はボルツマン定数及び気体の温度と圧力，$\pi d^2=\sigma$ は気体分子の断面積である。また，$L$は問題の系に対する代表的長さである。なお，$\dfrac{k_B T}{P}=\dfrac{V}{N}= \dfrac{1}{\rho}$であり，$\rho$は気体の数密度になる。これから，平均自由行程（速度 / 単位時間当たり衝突回数）は，$\lambda = \dfrac{1}{\sqrt{2} \rho \sigma}$とも表される。

気体の温度を300K，圧力を1Pa，系のサイズを0.1m，気体分子サイズ$d$=1 Å =$10^{-10}$mとして，$K_n=0.9$となる。$K_n$ <0.01 連続領域，0.01 < $K_n$ < 0.1 近連続領域，0.1 < $K_n$ < 10 遷移領域，10 < $K_n$ 自由分子領域 ということなので，これは流体力学よりも気体分子運動論的なボルツマン方程式で扱うのが適当なのではないか。

ラジオメーター（１）

 物理学科同期の同窓会関係の連絡をしていたら，楠本君からクルックス・ラジオメータについての質問があった。

真空に引いた（1 Torr程度）ガラス球の中に，羽根車が取り付けられており，4枚の羽根の片面が黒，他面が銀になっている。これに外部から光（赤外線）を当てると，熱の吸収の不均衡から温度勾配が生じる。それが残留空気の対流？を引き起こして，その反作用で羽根車が軸の周りに回転する。これにより，光の光度を調べることができるというのがラジオメータだ。現在では主に観賞用になっている。

羽根車の回転の原因として，光圧や面上の残留気体の分子運動による説明がされていたことがあったが，いずれも否定されているのか。柳田君からは，でんじろう先生のYouTubeを紹介された。色々な種類の光源による実験や，手作りラジオメータの実験はどは，非常に興味深いものだった。

ただ，まだ完全に理解できているわけではない。熱ほふく流，radiometric force，Knudsen force，エッジ効果と面効果，2Dシミュレーションの妥当性，などなど次々と芋づる式に疑問ワードが湧いて出てくるのであった。

写真：ラジオメーター（共立電子産業から引用）

光の雨：立松和平

 夜の谷を行く：桐野夏生からの続き

一年かかって，ようやく立松和平の光の雨を読了。まとまった時間がないと本が読めないのだが，法事で金沢まで往復したサンダーバードの時間を使うことができた。

狂言回しの周辺ストーリーは本質的なものではないと思うので，そこを批判するのはあまり当たらないのではないか。ただ，勾留中の坂口弘死刑囚の著作からの盗作疑惑を指摘されたため，大幅に改訂して文庫本となっているとのこと。

物語の主人公は，玉井潔（坂口弘 1946.11-）である。彼が80歳になっていて，死刑制度が廃止された2026年という時点に時代設定がなされている（Wikipediaには2030年とあるが，玉井が80歳になったばかりで，55年前の事件というキーワードがあることから2026年と推定できる）。その思い出語りの形で，連合赤軍事件（真岡銃砲店襲撃事件，印旛沼事件，山岳ベース事件）を中心に事件の概要を肉付けしたストーリが描写されている。

前半を印旛沼事件までに費やしていたが，こちらはよく知らなかった。後半の山岳ベース事件は，朝刊に載った写真が生々しくショッキングだったことを憶えている。早岐やす子(21歳) ，向山茂徳(20歳)；尾崎充男(22歳) ，進藤隆三郎(21歳) ，小嶋和子(22歳) ，加藤能敬(22歳) ，遠藤美枝子(25歳) ，行方正時(25歳) ，寺岡恒一(24歳) ，山崎順(21歳) ，山本順一(28歳) ，大槻節子(23歳) ，金子みちよ(24歳) ，山田孝(27歳) の14名を概ねカバーした記述がされていた。

立松和平の湿っぽさが内容にマッチしていたのかもしれないが，あらためて山本直樹のレッドをまとめて読んでみたくなる。

写真：光の雨の書影（Amazonから引用）

［１］連合赤軍事件スクラップブック

ルーシー

 木星の５つのトロヤ群小惑星を探査する宇宙探査機ルーシーが先週の土曜日（10月16日）にケープ・カナベラル宇宙軍基地から打ち上げられた。あれ，ケープ・カナベラルはケープ・ケネディに改名されていたのではなかったかと思ったが，どうなったのか。

ケネディ暗殺１週間後の1963年11月29日に，NASAの発射管制施設はケネディ宇宙センターに名称が変更されている。マーキュリー計画やジェミニ計画では，隣接するケープカナベラル空軍基地の発射施設が使われていたので，小学生の自分にはケープ・カナベラルは馴染みの名前だった。そのケープカナベラルもケープケネディという地名に変更されたと思っていたが，地名の方は1973年に元に戻されたようだ。知りませんでした。

フロリダ半島中部東岸のこの地域は，ジュール・ベルヌの「月世界旅行」の中で発射砲が設置されたフロリダ半島中部西岸のタンパに近かったので，アポロ計画のころにはちょっとした話題になっていた。

さて，ルーシーという名称は最初期のアウストラロピテクス人骨のルーシーからきているということだが，これはさらにビートルズのルーシー・イン・ザ・スカイ・ウィズ・ダイアモンズが由来ということで，なんだか巡り巡って複雑なことになっている。

写真：サージェント・ペパーズ・ロンリー・ハーツ・クラブ・バンド（Amazonから引用）

中性子の寿命パズル

原子核から飛び出した自由中性子の寿命は，宇宙初期の元素合成の話や標準模型におけるCMK行列の値などに関わる非常に重要な物理量である。実験的には，磁場や重力で閉じ込められた超冷中性子の数（ベータ崩壊している電子の数なのか？）を数えるボトル法と，飛行中の中性子が崩壊してできる陽子数を数えるビーム法に分けられる。

ところが，この２つの方法で得られる実験値は，ビーム法 が 888.0 ± 2.0 秒，ボトル法が 879.4 ± 0.6 秒であり，そ の差は 8.6 秒 (4σ) と大きな乖離がある。なお，ボトル法（超冷中性子）の最新のデータは，τn = 877.75 ± 0.28(stat.) + 0.22 / − 0.16(sys.) 秒であり，差は埋まっていない。

これに対して，KEKでは電子を計数する新しいビーム法の実験の準備がされている。また，全く独立な方法として，惑星/月探査機に積んだ表面組成分析用の中性子検出器を用いる方法が提案されている。精度は十分ではないが，水星や金星のフライバイのデータから，τn = 780 ± 60(stat.) ± 70(sys.) 秒を，月探査機のデータからτn = 800 +40/-50(stat.) ± 17(sys.) 秒が得られた。

なお，最新のLunar Prospectorのデータでは，τn = 887 ± 14(stat.) +7 / -4(sys.) 秒となっている。

図：今回の値は電子を測定するビーム法（京都大学のプレスリリースより）

［１］中性子寿命の謎の解明に向けて（KEK，2021.2.17）

原子の四重極能率

 原子核は，構成粒子間の力が面倒なテンソル力だったりする関係で，球形以外の回転楕円体などの形（フットボール型，パンケーキ型）が普通に見られるのだけれど，現代物理学の授業で「原子はみんな球形なのですか？」という質問があった。

原子は，原子核を中心としたクーロン力が支配的なので，どうなのか考えたこともなかった。もちろんE2遷移はあるけれど，基底状態で静的な四重極能率を持つ原子があるのだろうか。さっそく検索してみるのだけれど，なかなかこれといった情報にたどりつかない。分子はいいんですよ，ほとんど自明だから。

そもそも原子の基底状態で，全角運動量が 1 以上のものがあるのだろうか。たかだか100個しかないのだからどこかに簡単なテーブルが見つかるはずだ。あ，電子が奇数個であってその価電子が 0 でない（できれば2以上の）軌道角運動量を持てばばいいわけか。となると3d軌道や4d軌道に奇数個の電子があれば（Sc, V, Mn, Co, Y, Tc）J=3/2か5/2が作れそうなので，原子の電気四重極能率が 0 でない可能性がある。

周期表をあれこれみても電子配置はかいてあるものの，肝腎の全角運動量の情報がないのだ。どうなっているの？四重極能率の計算に全角運動量は関係ないのか？そんなこんなで少しだけかすっているような情報があったけれど，これは原子単体の話ではないかも。

図：電気四重極子の等ポテンシャル面（Wikipediaより引用）

フォトグラメトリ

 水中考古学の山舩幸太郎の話がテレビで流れていた。NHKのカネオ君だったのかな。YouTubeチャンネルもある。沈没船の様子を記録するためには，長期間のダイビング作業が必要であり，コストもたいへんなものになるところ，フォトグラメトリの技術を使って圧倒的に時間と費用が削減できたという印象的な話だった。

そういえば，大学の地学実験の授業ではじめてみたステレオグラムの写真に感動したことを思い出した。ここでは狭義に「デジタルカメラ等で多面的に撮影した複数のデジタル写真をコンピュータで画像解析し，3次元コンピュータグラフィックス等を得るプロセス」のことを考えたい。

AppleのMacBook発表会をみて，ほとんどのYouTuberが単純な性能や機能談義に終始していたところ，トバログ氏が，MacBook Proからみえる今後のAppleの方向性を議論していたのがおもしろかった。それは，Appleが出遅れている 3DCGを利用したVR・ARなどのMRが重要な役割を果たす世界である。

その兆候は，iPhoneカメラにおけるLiDARセンサーや，次期macOSのMontereyにおけるObjectCaptureという開発者向けAPIなどにみられる。そう，住宅・建築・土木関係や美術館・博物館・考古学あたり，あるいは自動運転・ロボティックス業界の皆様にとってはフォトグラメトリ最強かもしれませんが，一般コンシューマにtiktokのように浸透するには何が必要なのだろうか。VR/ARヘッドセットをかぶるのはちょっと勘弁してほしいのだけれど。

図：photogrammetryのイメージ（lecture.nakayasu.comから引用）

［１］ Sketchfab（The Leading Platform for 3D & AR on the web）

MacBook Pro

 4月にMacBook Pro (mid 2012)を壊してしまって MacBookAir (2020 M1)に乗り換えてから半年たった。M1 MacBook Air は大変快調に動作している。夏場に少し熱くなったファンレスマシンだけれど，バックグラウンドで動いていたソフトを1つ外したところ，全く問題なくなった。これからはむしろ掌に冷たいボディの心配をする必要があるかもしれない。

さて，昨日（日本時間2021年10月19日未明）のAppleEventで，新しいM1 Pro/MAX チップを搭載した MacBook Pro が発表された。ネット上ではかなり盛り上がっている。新しいチップは，従来のM1チップに比べて面積が2〜3.5倍（トランジスタ数がMAXで570億個）。CPUコア数は8（高性能4+省電力4）から10（高性能8+省電力2）へ，GPUコア数は8から16/32へと増えている。メモリ帯域幅は200GB/s または 400GB/sで，従来のM1チップの3〜6倍である。

今のM1チップとシングルコアでの性能は変わらないそうで，マルチコアによる性能が1〜2倍の範囲で強化されるということになる。Appleの宣伝では大変素晴らしいことになっているが，あくまでも旧いIntelチップとの比較であり，実運用上どこまで確かなのかは試してみないとわからない。最も，動画編集をしない自分にはそもそも関係ない話かもしれない。

というわけで，新しいMacBookで一番良かったのは，TouchBARの廃止。TouchIDの採用，1080pのフロントカメラ，USB-C (Thunderbolt 4) × 3ポート，Magsafeの復活かな。3.5mmヘッドフォンジャックも残った。それに+10万円の価値があるかどうかという問題だけど・・・。

(1) MacBook Air  13"：21.2 × 30.4 × (0.4-1.6) 1.3kg, 8CPU+8GPU, 16G+1T = 20万円

(2) MacBook Pro 14" (Pro)：22.1 × 31.3 × 1.5 1.6kg, 10CPU+16GPU，16G+1T = 30万円

(3) MacBook Pro 14" (Pro)：22.1 × 31.3 × 1.5 1.6kg, 10CPU+16GPU，32G+2T = 39万円

(4) MacBook Pro 14" (MAX)：22.1 × 31.3 × 1.5 1.6kg, 10CPU+16GPU，32G+2T = 43万円

(5) MacBook Pro 14" (MAX)：22.1 × 31.3 × 1.5 1.6kg 10CPU+32GPU，64G+4T = 54万円

写真：MacBook Pro 2021 のサイドビュー（Appleより引用）

写真：M1チップの面積（Appleより引用）

ルジャンドル変換（４）

 ルジャンドル変換（３）からの続き

ルジャンドル変換の例題を考えていて，$f(x=0)=f^*(p=0)=0$ならば，積分の図とうまく整合するのだが，そうでない場合にどうなるのかちょっと困った。そこで，簡単な２次関数の例で試してみた。

図：定数分の補正で説明できるルジャンドル変換の例

図左のように元の関数を，$f(x)=(x-a)^2+b$とする。このとき$x$が増加して$f(x)$が減少する部分があるので，正の面積だけでは表現できない。実際，図中で$f'(x)$は$0<x<a$で負になる。そこで，$f(x) = \int_0^x f(y) dy + C$として，初期値を$f(0)=(a^2+b)=C$，$x$軸以下の部分の面積を負の量として考える。

このとき，$f^{*}(p)= \int_{-2a}^p {f^{*}}'(q) dq - C$として，$f(x) + f^{*}(p) = x\,p$が成り立つことになる。図右には，結果としての$f^{*}(p)$のグラフを示している。このように積分領域や定数を適当に調整することで，面積によるルジャンドル変換の解釈はそのまま使えると思われる。

この例では，$x$の範囲は，$0<x$としているが，$x_\min < x < x_\max$の範囲で$f(x)$を定義し，これに対応する $p_\min < p < p_\max$ の範囲の$f*(p)$を考えて，定数分の補正をすれば良い。

ルジャンドル変換（３）

 ルジャンドル変換（２）からの続き

田崎さんの熱力学の付録HのLegendre変換によれば（変数$\alpha \rightarrow p$として），$f(x)+f^*(p) \ge x p$ というYoungの不等式が成り立つとある。ルジャンドル変換を一般化した凸共役性のところでも，フェンシェル=ヤングの不等式として示され，これらはルジャンドル変換の定義（min/maxを用いるもの）から直ちに導かれるとしている。

ところが，積分で表示した場合はどうなのかちょっと困った。まあ，不等号でmin/maxの条件に当てはまらないところを考えるということならば，単調増加する連続関数の積分における不等式で説明できたということにすれば良いのかな。

（例1）$f(x)=a x^2 + b x$のルジャンドル変換。$f'(x)=2 a x+ b =p$から$x=\frac{p-b}{2a}$が最小値を与える$x$である。これを用いて，$f^*(p) = x p - f(x) = x p - (a x^2 + b x) |_{x=\frac{p-b}{2a}} = \frac{(p-b)^2}{4a}$

（例2）$\alpha, \beta > 1, \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$として，$f(x)=\frac{1}{\alpha}x^\alpha$のルジャンドル変換。$f'(x)=x^{\alpha-1}=p$から$x=p^{1/(\alpha-1)}$が最小値を与える$x$である。これを用いて，$f^*(p) = x p - f(x) = x p -\frac{1}{\alpha}x^\alpha |_{x=p^{1/(\alpha-1)}} = p^{\alpha/(\alpha-1)} - \frac{1}{\alpha}p^{\alpha/(\alpha-1)} = \frac{\alpha - 1 }{\alpha} p^{\alpha/(\alpha-1)} = \frac{1}{\beta} p^\beta$となる。すなわち，$\dfrac{x^\alpha}{\alpha} + \dfrac{p^\beta}{\beta} \ge x p$ が成り立つ。

（例3）対応する変数を$(\dot{x}, p)$として，$f(\dot{x})=L(\dot{x},x)=\frac{1}{2}\dot{x}^2-\frac{1}{2}x^2$のルジャンドル変換。$\frac{\partial L(\dot{x},x)}{\partial \dot{x}}=\dot{x} = p$となる。これを用いて，$f^*(p)=H(p,x)=\dot{x} p - L(\dot{x},x) = p^2 - L(p,x) = \frac{1}{2}p^2 +\frac{1}{2} x^2$となる。

ルジャンドル変換（２）

 ルジャンドル変換（１）からの続き

ルジャンドル変換にかかわる関数として，２階微分が正であるC1級関数ではなくて，凸関数という表現を使っているのは，相転移点で微分可能でなくなるような熱力学的関数に対してもルジャンドル変換をしたいがためだとあった。

ということで，ある関数$f(x)$の１階微分$f'(x)$が不連続になるような場合を図示してみると次のようになる。この場合も$f(x)$は連続になっている。

通常，このような場合の関数$f(x)$のルジャンドル変換$f^*(p)$は，次の式で表現されている。

$f^*(p) = - \underset{x}{\min} \{ f(x) - p\, x \} =  \underset{x}{\max} \{ p\, x - f(x) \}$

一階微分できる点の場合はカッコ内を$x$で微分すれば，$p$と$x$が一意的に対応する。そうでない点の場合は，その点の左微分から右微分の値の範囲の$p$に対して，上記の条件から$f^*(p)$を定めることになる。

図：一階微分が不連続な場合のルジャンドル変換のイメージ

ルジャンドル変換（１）

 ルジャンドル変換は，積分を使って表現するとわかりやすいという説と通常の説明の対応について考えてみたい。この過程でtikzにおける塗りつぶし方法を練習した。

図：ルジャンドル変換のための説明図

原点を通る単調増加関数上の点C $(x,p)$があって，図のように矩形の領域をとる。矩形領域内で関数の下の部分の面積を$f(x)$，上の部分の面積を$f^*(p)$とすると，$f(x)+f^*(p)=xp$が成り立つ。$f^*(p)$が$f(x)$のルジャンドル変換になる。同様に，$f(x)$は$f^*(p)$のルジャンドル変換である。$f^*(p)$のルジャンドル変換は$f^{**}(x)$とも書けるから，$f^{**}(x)=f(x)$となって，ルジャンドル変換を2回繰り返すと元の関数に戻る。

この単調増加関数は，$x$の関数とすると$f'(x)$であり，$p$の関数と見れば${f^{*}}'(p)$となる。そこで，$f^*(p)$を求めるには，$p=f'(x)$を$x$について解いて，$x=\varphi(p)$を求めてから，$f^*(p) = x p - f(x) = \varphi(p) \cdot p - f(\varphi(p))$として求めることができる。

いいかえれば，$f(x) = x p - f^*(p) |_{p=f'(x)}$ として，元の関数$f(x)$が，傾き$p$と切片$- f^*(p)$でも表現されるということになる。

／begin{tikzpicture}
\tikzstyle{every node}=[font = \Large];
\filldraw (0,0) circle(1pt) node[below left]{O};
\draw[->] (-2,0) -- (8,0) node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-2) -- (0,8) node[above]{$p$};
\draw[step=1.0, dotted] (-2,-2) grid (8,8);
\draw [dotted, pattern=north west lines, pattern color=blue] (0,0) -- (1,1.3) -- (2,2) -- (3,2.4) -- (4,3)-- (5,4) -- (6,5.4) -- (6,0);
\draw [dotted, pattern=north west lines, pattern color=red] (0,0) -- (1,1.3) -- (2,2) -- (3,2.4) -- (4,3) -- (5,4) -- (6,5.4) -- (0,5.4);
\draw[domain=0:3, thick] plot(\x,{-0.2*(\x-3.5)^2+2.45});
\draw[domain=3:7, thick] plot(\x,{0.2*(\x-2)^2+2.2});
\filldraw (6,0) circle(1pt) node[below]{$x$};
\filldraw (3,2.4) circle(1pt);
\filldraw (6,5.4) circle(1pt) node[right]{C};
\node[below right] at (6.5,5.4) {$f^{'}(x)$};
\node[above left] at (6,5.4) {$f^{*'}(p)$};
\filldraw (0,5.4) circle(1pt) node[left] {$p$};
\draw[blue] (4,1) node{$f(x)$};
\draw[red] (2,4) node{$f^*(p)$};
\end{tikzpicture}

日本人のノーベル賞

日本における最近の科学や経済の衰退傾向から，将来，日本人の自然科学系のノーベル賞受賞者が出なくなるのではといわれることがある。一方，最近の中国や韓国は日本より科学技術，経済分野で先んじてはいるけれど，まだノーベル賞受賞者をどんどん輩出するようにはなっていない。

ある研究や発明がなされたときと，それが評価されて普及するようになるまでには時差があることが，その一因と考えられる。そこで，日本人（日本出身）の自然科学系のノーベル賞受賞者25名の，研究・発明年と受賞年をグラフに書いてみた。研究発表の時点から受賞までには平均で約26年かかっているようだ。

図： 日本人の受賞年（横軸）と研究発表年（縦軸）
（赤は時差が25.9年，オレンジは25.9±5年を表す）

湯川秀樹が最初に受賞してからの50年間では5名だけだったのが，2000年以後の20年間余で20名ということになる。1970年代から1990年代にかけて，日本の経済や科学を取り巻く環境が良かった時代を反映しているのかもしれない。

なお，上記のグラフを書くためのJuliaのコードは以下の通りであり，Gadfly.jl でグラフをオーバレイする方法がわかった。

using Gadfly
using Compose
using DataFrames
X = [1949,1965,1973,1981,1987,2000,2001,2002,2002,2008,2008,2008,2008,2010,2010,2012,2014,2014,2014,2015,2015,2016,2018,2019,2021]
Y = [1935,1947,1957,1952,1976,1976,1987,1985,1987,1962,1973,1973,1960,1977,1979,2006,1985,1985,1992,1997,1996,1992,1992,1985,1967]
Labels = ["湯川","朝永","江崎","福井","利根川","白川","野依","田中","小柴","下村","小林","益川","南部","根岸","鈴木","山中","赤碕","天野","中村","大村","梶田","大隅","本庶","吉野","真鍋"]

p1=layer(x=X, y=Y, label=Labels, Geom.point, Geom.label, Theme(major_label_font="CMU Serif",minor_label_font="CMU Serif",major_label_font_size=12pt,minor_label_font_size=12pt))
p2=layer(x->x-25.9, 1949,2035, color=[colorant"red"])
plot(p1,p2)
p3=layer(x->x-20.9, 1949,2035, color=[colorant"orange"])
plot(p1,p2)
p4=layer(x->x-30.9, 1949,2035, color=[colorant"orange"]) 

plot(p1,p2,p3,p4)

凸関数

 ルジャンドル変換について調べようと，田崎さんの熱力学や谷村さんの資料を見ていたら，事前知識として凸関数（Convex Function）が要求された。それは次のようなものだった。

(1) 定義：ある区間で定義された実数値関数 $f(x)$ において，区間内の任意の点，$x_1 < x_2$に対して，$0 < \lambda < 1$ として，$f((1 - \lambda) x_1 + \lambda x_2) \le (1 - \lambda) f(x_1) + \lambda f(x_2)$ を満足する$f(x)$は凸関数であるという。

(2) 凸関数は連続である。

(3) 凸関数が２回微分可能な点$x$では，$f''(x) >0$である（２回微分できない点もある）。

(4) 任意の点$x_0$ で右微分$f'_{-}(x_0)$と左微分$f'_{+}(x_0)$が存在し，次の条件，$f'_{-}(x_0) < \alpha < f'_{+}(x_0)$を満足する定数$\alpha$に対して，$f(x) \ge f(x_0) + \alpha (x - x_0)$となる。

(5) 一階微分可能な点$x_0$では，$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ が成り立つ。

図：凸関数の定義のための補助図