初等関数の統一基底

図：EMLから導かれる初等関数（原論文から引用）

すべての論理回路は，単一のNANDゲートだけから構成することができる。

・​​NOT A = A NAND A

・A AND B = NOT ( A NAND B ) = ( A NAND B ) NAND ( A NAND B )

・A OR B = ( NOT A ) NAND ( NOT B ) = ( A NAND A ) NAND ( B NAND B )

ポーランドのOdrzywołekによって，この連続版が発見された。すなわち，一つの関数EMLによって，すべての初等関数が表現できるというのだ。その関数EMLというのは，

　　　　EML(x, y) = e^x - ln y

である。これに加えて，定数の 1 が利用できるものとする。

そこで，Mathematicaで確認してみた。適当に中間部品となる関数を定義して，見やすくしている。

In[1]:= eml[x_, y_] := Exp[x] - Log[y]

In[2]:= eml[x, 1]

Out[2]= E^x

In[3]:= ln[x_] := eml[1, eml[eml[1, x], 1]]

In[4]:= ng[x_] :=  eml[eml[1, eml[eml[1, eml[1, eml[x, 1]]], 1]], eml[eml[1, 1], 1]]

In[5]:= inv[x_] :=  eml[eml[eml[1, eml[eml[1, eml[1, x]], 1]], eml[eml[1, 1], 1]], 1]

In[6]:= mul[x_, y_] :=  eml[eml[1, eml[eml[eml[1, eml[eml[1, eml[1, x]], 1]], y], 1]], 1]

In[7]:= add[x_, y_] := ln[mul[eml[x, 1], eml[y, 1]]]

In[8]:= sub[x_, y_] := add[x, ng[y]]

In[9]:= div[x_, y_] := mul[x, inv[y]]

In[10]:= ng[1]

Out[10]= -1

In[11]:= add[1, 1]

Out[11]= 2

In[12]:= hlf = inv[add[1, 1]]

Out[12]= 1/2

In[13]:= img = ng[eml[mul[hlf, ln[ng[1]]], 1]]

Out[13]= -6.12323*10^-17 + 1. I

In[14]:= him = inv[mul[add[1, 1], img]] 

Out[14]= -8.04061*10^-17 - 0.5 I

In[15]:= pai = mul[img, ln[ng[1]]]

Out[15]= E^(Log[-E^E^(-Log[2] + Log[-I \[Pi]])] + Log[-I \[Pi]])

　　　 = 3.14159 - 1.39515*10^-15 I

In[16]:= sqr[x_] := eml[mul[hlf, ln[x]], 1]

In[17]:= cs[x_] := mul[hlf, add[eml[mul[img, x], 1], eml[ng[mul[img, x]], 1]]]

In[18]:= sn[x_] := mul[him, sub[eml[mul[img, x], 1], eml[ng[mul[img, x]], 1]]]

Log[-1]の主値の取り方で論文とMathematicaの出力は符号が異ってしまうが，そこさえ調整すればよい。