白銀比

「黄金比」を初めて知ったのは，小学生のころ毎週金曜夜8:00からのディスニーランドのドナルド・ダックのアニメーションだったような気がする。あるいは，科学図説シリーズ「数の世界」だったかも。かつては宇宙における美の秘密の鍵でもあるかのような神秘な香りがしていたが，最近はどうやら黄金比だから美しいわけではないという空気が漂ってきた。

そこで目に入ってきたのが「白銀比」だ。なにそれ。紙の寸法のJIS規格で使われる 1:√2 のことをさす場合もあるらしいが，ここでは黄金比からつながる系列に対応するものだ。図をみればその定義がわかりやすい。調べると，青銅比以下にまで一般化した第n貴金属比というものもある。

これを$\alpha_n$と置けば，$\alpha_n - n :1 = 1: \alpha_n$ あるいは，$\alpha_n = n + \dfrac{1}{\alpha_n}$ であり，2次方程式を解けば，$\alpha_n = \dfrac{1 + \sqrt{n^2+4}}{2}$ である。$n=1$が黄金比，$n=2$が白銀比，$n=3$が青銅比というわけだ。

Geminiにおねがいして，作図用のTikZスニペットを出力してもらい，人間の力で修正したものが下図である。プログラミングは，いかに正確に日本語で表すかという国語の問題になりつつあった。

図：黄金比，白銀比，青銅比の考え方（GeminiによるTikZ作図から）