　　　　On a Thread of the Web: カーリングの原理（３）

2022年10月20日木曜日

カーリングの原理（３）

経験的にわかっていることは，(1) ストーンは反時計（左）回りで左にカールし，時計（右）回りで右にカールする，(2) カールする度合いは，回転の大小で余り変わらない，(3) ストーンの並進運動が止まるときに回転も止まる，であるらしい。

理論的には，大きく分けて２つの立場がある。(1) 左右の摩擦係数の違いによる：並進速度と回転速度が加わる部分はアイスシートに対する速度が大きく摩擦係数が小さいが，並進速度から回転速度が引かれる部分はアイスシートに対する速度が小さく摩擦係数が大きい。これがカールの原因となる。(2) 前後の摩擦係数の違いによる：(1) では，円環モデルをとるかぎり横方向の摩擦力は対称性から打ち消しあうので，カールするための原動力がでてこない。ところが，進行方向前後の摩擦係数を変えるとき，後方の摩擦係数が大きければ経験的にしられている回転方向とカール方向の関係が再現できる。

円環モデルの進行方向に対して角度$\theta$の場所にある質量要素のアイスシートに対する速度$v$は，$v = \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 + w^2 - 2w (u_y \cos \theta - u_x \sin \theta ) }\ $ である。つまり，$u_y=0$ならば，$\sin \theta$のみの関数になる。一方，円環モデルの進行方向に対して垂直な方向に現れる摩擦力は，$F_y= - \frac{\mu}{v^p} M g w \ \cos \theta$なので，これを$\theta=0 \sim 2\pi$で積分すれば，必ず0になってしまう。一方，この$\mu$に前後非対称があれば，積分値は0ではなくなる。

この事情をMathematicaで計算してみると次のようになる。

mg\[Mu] = 2; ux = 1; uy = 0.00; w = 0.1; r = 0.1; q=0.0;
v[t_] := Sqrt[w^2 - 2*w*(ux*Sin[t] - uy*Cos[t]) + ux^2 + uy^2]
k[t_] := mg\[Mu]/v[t]^1.5 *(1 - q*Cos[t])
F[t_] := -k[t]*{ux - w*Sin[t], uy + w*Cos[t]}
T[t_] := -r * k[t] * (w + uy*Cos[t] - ux*Sin[t])
Plot[{v[t], F[t], T[t]}, {t, 0, 2 Pi}, PlotRange -> {-3, 3}]
NIntegrate[{F[t], T[t]}, {t, 0, 2 Pi}]

{{-12.7325, 6.27728*10^-7}, -0.221247}