典型的な状態（２）

典型的な状態というのは，統計力学の基礎となる，$N$粒子系の相空間（Γ空間）の点＝微視的状態の部分集合である。その微視的状態の数を評価してみる。

簡単のため，常温（300K）の気体分子（窒素分子）を1Lの容器に入れたものを例にとる。$N=1$として，3自由度＝6次元の相空間の体積要素は，プランク定数を$h$として，$h^3$になる。ここでは，1自由度だけ取り出して，2次元相空間の体積要素がどんな値なのかを考える。

プランク定数は，$h = 6.6 \times 10^{-34} {\rm \  [J \cdot s]} = 6.6 \times 10^{-34} {\rm \  [kg \cdot m^2 / s ]}$，ボルツマン定数は，$k_B=1.4 \times 10^{-23} {\rm \ [J/K]}$とする。窒素分子の質量は，$m=\frac{28 \times 10^{-3} {\rm \  [kg]}}{6.0 \times 10^23 {\rm \  [/mol]}}$，その平均速度は，$\bar{v}=\sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M} }= 5.2 \times 10^2 {\rm \ [m/s]}$

プランク定数を，窒素分子の質量で割ると，相空間の体積要素の換算値$\tilde{h}$が長さと速度の積として表わされ，$\tilde{h}=1.4 \times 10^{-8} {\rm \ [m \cdot m/s]}$である。ここで，箱のサイズが$L=0.1 {\rm \ [m]}$，窒素分子の速度の最大値が$\ v_{\rm max} =3  \times 10^3 {\rm \ [m/s]} \ $のオーダーとして，その積は，$L \cdot v_{\rm max} = 3 \times 10^2 {\rm \ [m \cdot m / s]}= 2 \times 10^{10} \ \tilde{h}\ $となる。

そこで，箱のサイズと速度の最大値をほぼ均等に10万（$10^5$）分割すれば，相空間の体積要素は，$10^{-6} {\rm \ [m]} \times 3 \times10^{-2} {\rm \ [m/s]}\ $となる。つまり，相空間の各次元を10万分割してつくる体積要素＝セルを単位として，微視的な状態数（総セル数）を勘定することになる。

$N$粒子系の相空間は，$6N$次元空間であり，$N \sim 3 \times 10^{22}$として，総セル数は $\bigl( 10^5 \bigr) ^{10^{23}}$ のオーダーとなる。とにかく多いのだけれど，計算した意味はあまりなかった。