レピュニット

レピュニット数（repunit = Repeated Unit ） とは，全ての桁が１である自然数のことである。例えば，１，11，111，1111，11111，111111・・・などである。１が$n$個並ぶレピュニット数を$R_n$と書くと，$R_n = \dfrac{10^n - 1 }{9}$である。

tujimotterの「任意の素数はレピュニットの素因数に現れる（2, 5を除く）あとダイヤル数」によると，次の定理「2と5 を除く任意の素数 $p$ に対し，ある正整数 $n>1$ が存在して $R_n$は p で割り切れる」が成り立つ。このとき，$R_n = \dfrac{10^n - 1 }{9} \equiv 0 ,\quad (\mod\ p)$

$p \neq 3$ならば($R_3 = 111 \equiv 0 \mod 3$なので，$p =3$ は OK)，$10^n \equiv 1 \ (\mod p) , \quad n>1$が成り立てばよい。これはフェルマーの小定理にほかならない。

フェルマーの小定理：互いに素である整数 $a$ と 素数 $p$ に対し，$a^{p−1} \equiv 1 \ (\mod p)$が成り立つ。