ローラー式すべり台（２）

ローラー式すべり台（１）からの続き

さて，ローラ式すべり台において，雨粒のように速度の2乗に比例する抵抗が働く理由である。これを牧野さんにならってローラーの回転エネルギーへの損失からくるとしてみよう。

村田さんらの論文では，実験データとして次の情報が与えられている。ローラ式すべり台の直線部分7.5m，角度13度，直径18mm の軸受け付きアルミ棒・25mm 間隔 とある。アルミ棒はたぶんアルミパイプだと思うが，厚みや長さや質量などの情報はなかった。

これから，回転アルミパイプの外径$R$は9mm で間隔$d$は25mm となる。仮に厚みを5mm とするとアルミパイプの内径$R'$は4mmである。アルミパイプの軸回りの慣性能率$I$は，その質量を$M$として，$I=(R^2+R'^2)/2 \cdot M$ となる。よくある力学の演習問題だ。

終端速度$v$に達すると，すべり台を滑る位置エネルギーがすべてローラーの回転エネルギーに転化される。あるいはこの際に損失を伴うかもしれない。短時間$\Delta t$の間に物体が角度 $\theta$のすべり台を$v \Delta t$だけ滑り落ちるとする。その際の位置エネルギー変化は$\Delta U = m g v \Delta t \sin \theta$ となる。

一つのローラユニットの幅は$d$なので，この間に通過するユニット数 $n$は，$n=\frac{v \Delta t }{d}$となる。また，1ユニットのローラが受け取るエネルギー$\Delta L$は，$\Delta L = \frac{1}{2} I \omega^2$となる。ただし，$\omega = \frac{v}{R}$は，ローラーの回転角速度である。これから，$\Delta L = \frac{I v^2}{2 R^2}$となる。

$\Delta U =  n \Delta L$から $v \Delta t$を消去すると，$m g \sin \theta =\frac{1}{d} \cdot \frac{I v^2}{2 R^2}$となる。

$\therefore  v = \sqrt{\dfrac{4 g \sin \theta \  R^2 d }{(R^2+R'^2) M}} \cdot \sqrt{m}$

ここで，$M$はアルミパイプの質量。アルミパイプの長さを60cm ，$R'$=4mmとすると，$M$=0.33kgとなる。これらを代入すると， $v=0.74 \sqrt{m}$ となる。

牧野さんの前半の値とほぼ整合するというか，真似しただけなのであたりまえなのだった。

図：アルミパイプ内径の関数としての係数と質量（直線は係数の実験値）