三次元極座標のラプラシアン

座標変換して三次元の極座標のラプラシアンを求めるのは，面倒な計算アルアルのトップにくるやつである。こんなかんじ。直交曲線座標系の一般式に代入すれば，どうということもないけれど，そこに到達するまでがたいへん。

２次元極座標のラプラシアンを２回使うのがスマートだという話があったので，試してみる。

第１段階（xy平面の２次元ラプラシアンの計算）

$x = \rho \cos \phi, \  y = \rho \sin \phi \ $に対して，$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} = \dfrac{\partial^2}{\partial \rho^2}+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{ \partial}{\partial \rho}+ \dfrac{1}{\rho^2 } \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2}$ となる。

これは，$\nabla_{xy} = \bm{e}_x \dfrac{\partial}{\partial x} +  \bm{e}_y \dfrac{\partial}{\partial y} = \bm{e}_\rho \dfrac{\partial}{\partial \rho} +  \bm{e}_\phi \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \phi}$ の内積$\nabla_{xy}\cdot \nabla_{xy}$を計算すれよい。

ただし，$ \bm{e}_\rho = (\cos \phi,\ \sin \phi),\  \bm{e}_\phi = (-\sin \phi,\ \cos \phi)\ $より，$\dfrac{\partial \bm{e}_\rho}{\partial \phi} = \bm{e}_\phi,\ \dfrac{\partial \bm{e}_\phi}{\partial \phi} = -\bm{e}_\rho\ $を用いる必要がある。内積の左の$\nabla_{xy}$が右の$\nabla_{xy}$の中にある基底ベクトルを微分するところから$\dfrac{1}{\rho}\dfrac{ \partial}{\partial \rho}$の項が出てくる。

第２段階（z軸を含む２次元ラプラシアンの計算）

$\rho = r \sin \theta, \  z = r \cos \theta \ $に対して，$\dfrac{\partial^2}{\partial \rho^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2} = \dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{ \partial}{\partial r}+ \dfrac{1}{r^2 } \dfrac{\partial^2}{\partial \theta^2}$ となる。

これも，$\nabla_{\rho z} = \bm{e}_\rho \dfrac{\partial}{\partial \rho} +  \bm{e}_z \dfrac{\partial}{\partial z} = \bm{e}_r \dfrac{\partial}{\partial r} +  \bm{e}_\theta \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta}$ の内積$\nabla_{\rho z}\cdot \nabla_{\rho z}$を計算すればよい。

この結果，$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2} =   \dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{ \partial}{\partial r}+ \dfrac{1}{r^2 } \dfrac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{ \partial}{\partial \rho}+ \dfrac{1}{\rho^2 } \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} $となる。

あとは，$\rho = r \sin \theta \ $とすればほぼOKだが，問題は，$\dfrac{\partial}{\partial \rho}$であり，ここを，$r,\ \theta$で書き直す必要がある。すなわち，二変数合成関数の偏微分の公式から，

$\dfrac{\partial}{\partial \rho} = \dfrac{\partial r}{\partial \rho} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{\partial \theta}{\partial \rho} \dfrac{\partial}{\partial \theta}= \frac{\partial \sqrt{\rho^2 + z^2}}{\partial \rho} \dfrac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \tan^{-1}(\rho/z)}{\partial \rho} \dfrac{\partial}{\partial \theta} = \sin \theta \dfrac {\partial}{\partial r}  + \dfrac{\cos \theta}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta}$

結果をまとめると，

$\bm{\nabla}^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{ \partial}{\partial r}+ \dfrac{1}{r^2 } \dfrac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\dfrac{1}{r^2 \tan \theta}\dfrac{ \partial}{\partial \theta}+ \dfrac{1}{r^2 \sin^2\theta} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2}$